Question

如图，⊙O的直径AB=10，CD是⊙O的弦，AC与BD相交于点P．
（1）判断△APB与△DPC是否相似？并说明理由；
（2）如果sin∠BPC是方程2x²+5x-3=0的根，求∠BPC的度数；
（3）在（2）的条件下，求弦CD的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,解一元二次方程-因式分解法,圆周角定理,特殊角的三角函数值

专题：

分析：（1）运用圆周角定理证明∠A=∠D，∠B=∠C，即可解决问题．
（2）解方程得到sin∠BPC=

1

2

，即可解决问题．
（3）证明

PC

PB

=

3

2

；由△ABP∽△DCP，得到AB：CD=BP：PC=

3

：2，即可解决问题．

解答：解：（1）如图，
∵∠A=∠D，∠B=∠C，
∴△ABP∽△DCP．
（2）解方程2x²+5x-3=0得：x=

1

2

或-3，
∵sin∠BPC是方程2x²+5x-3=0的根，
∴sin∠BPC=

1

2

，
∴∠BPC=30°．
（3）如图，连接BC；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，而∠BPC=30°，
∴cos30°=

PC

PB

=

3

2

；
∵△ABP∽△DCP，
∴AB：CD=BP：PC=

3

：2，而AB=10，
∴CD=5

3

．

点评：该题主要考查了圆周角定理及其推论、相似三角形的判定及其性质等重要数学知识点及其应用问题；牢固掌握定理是基础，科学解答是关键；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．