Question

4．已知关于x的方程mx²+（3m+1）x+3=0．
（1）求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根；
（2）当x₁²-x₂²=0时，求m的值．

Answer 1

分析 （1）分类讨论：当m=0时，方程化为一元一次方程x+3=0，有一个解；当m≠0时，由于△=（3m+1）²-4m×3=（3m-1）²≥0，此时方程有两个实数解，于是可判断不论m为任何实数，此方程总有实数根；
（2）先利用求根公式求出x₁=-3，x₂=-$\frac{1}{m}$，再利用x₁²-x₂²=0得到（$\frac{1}{m}$）²=9，然后解关于m的方程即可．

解答 （1）证明：当m=0时，方程化为x+3=0，解得x=-3；
当m≠0时，△=（3m+1）²-4m×3=（3m-1）²≥0，此时方程有两个实数解，
所以不论m为任何实数，此方程总有实数根；
（2）解：x=$\frac{-（3m+1）±（3m-1）}{2m}$，
解得x₁=-3，x₂=-$\frac{1}{m}$，
∵x₁²-x₂²=0，
∴（$\frac{1}{m}$）²=9，
∴m=±$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
对（1）个问题要分类讨论．