Question

己知反比例函数y=的图象过点（-2，-）
①求此函数的解析式；
②如果点A（m，1）是反比例函数图象上的点，求m的值；
③利用②的结果，请在坐标轴上找一点P，使以A、O、P三点为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出所有满足条件的点P的坐标．

Answer 1

解：（1）把点（-2，-）代入y=，
得-=，解得k=2，
所以反比例函数解析式为y=；

（2）把点A（m，1）代入y=，得m=1；

（3）如图，作AP₁⊥x轴于P₁，AP₃⊥y轴于P₃，
∴△OAP₁，OAP₃都是直角三角形，
而A点坐标为（1，1），
∴P₁（1，0），P₃（0，1），
∴△OAP₁，OAP₃都是等腰直角三角形，
∴点A为直角顶点时，点P₂与O点关于AP₁对称，点P₄与O点关于AP₃对称，
∴P₂（2，0），P₄（0，2），
∴满足条件的P点坐标为（1，0），（0，1），（2，0），（0，2）．
分析：（1）直接把点（-2，-）代入反比例函数解析式求出k，即可确定反比例解析式；
（2）把A点坐标代入反比例解析式即可求出m；
（3）作AP₁⊥x轴于P₁，AP₃⊥y轴于P₃，利用A点坐标得到P₁（1，0），P₃（0，1），且△OAP₁，OAP₃都是等腰直角三角形，当以A、O、P三点为顶点的三角形是以点A为直角顶点的直角三角形时，点P₂与O点关于AP₁对称，点P₄与O点关于AP₃对称，则P₂（2，0），P₄（0，2），
点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的判定与性质．