Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于一点P，连接AP并延长交BC于点E，连接EF．

（1）求证：四边形ABEF是菱形．

（2）设AE与BF相交于点O，四边形ABEF的周长为16，BF＝4，求AE的长和∠C的度数．

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）.

【解析】

（1）根据尺规作图得到直线AE是线段BF的垂直平分线，∠FAE=∠BAE，根据线段垂直平分线的性质、菱形的判定定理证明；

（2）根据菱形的周长求出菱形的边长，得到△ABF是等边三角形，根据等边三角形的性质、勾股定理计算即可.

解：（1）由尺规作图的过程可知，直线AE是线段BF的垂直平分线，∠FAE＝∠BAE，

∴AF＝AB，EF＝EB，

∵AD∥BC，

∴∠FAE＝∠AEB，

∴∠AEB＝∠BAE，

∴BA＝BE，

∴BA＝BE＝AF＝FE，

∴四边形ABEF是菱形；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形

∴∠BAD＝∠C

∵菱形ABEF的周长为16，

∴AF＝AB＝4，又BF＝4，

∴△ABF是等边三角形，

∴∠ABF＝60°，AO＝AB＝2

∴∠C＝60°，AE＝4