Question

10．如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠PEF=（　　）

• A． 35°
• B． 45°
• C． 50°
• D． 55°

Answer 1

分析 延长PF交AB的延长线于点G．根据已知可得∠B，∠BEF，∠BFE的度数，再根据余角的性质可得到∠EPF的度数，从而不难求得∠FPC的度数，根据余角的定义即可得到结果．

解答 解：延长PF交AB的延长线于点G．
在△BGF与△CPF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GBD=∠PCF}\\{BF=CF}\\{∠BFG=∠CFP}\end{array}\right.$，
∴△BGF≌△CPF（ASA），
∴GF=PF，
∴F为PG中点．
又∵∠BEP=90°，
∴EF=$\frac{1}{2}$PG（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∵PF=$\frac{1}{2}$PG（中点定义），
∴EF=PF，
∴∠FEP=∠EPF，
∵∠BEP=∠EPC=90°，
∴∠BEP-∠FEP=∠EPC-∠EPF，即∠BEF=∠FPC，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC，∠ABC=180°-∠A=70°，
∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴BE=BF，∠BEF=∠BFE=$\frac{1}{2}$（180°-70°）=55°，
∴∠FPC=55°，
∴∠EPF=35°，
∵EF=PF，
∴∠PEF=∠EPF=35°，
故选：A．

点评 此题主要考查了菱形的性质的理解及运用，灵活应用菱形的性质是解决问题的关键．