Question

【题目】（1）感知：如图1，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，易知DB，DC数量关系为：　 　．

（2）探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，（1）中的结论是否成立？请作出判断并给予证明．

（3）应用：如图3，在四边形ABCD中，DB＝DC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，DE⊥AB于点E，试判断AB，AC，BE的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）BD＝CD；（2）成立，证明详见解析；（3）AB＝AC+2BE，证明详见解析．

【解析】

（1）结论：BD＝CD．只要证明△ADC≌△ADB即可；

（2）结论成立．如图②中，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，只要证明△ADC≌△ADB即可；

（3）如图③中，连接AD．作DF⊥AC于F．首先证明△DFC≌△DEB（AAS），再证明Rt△ADF≌Rt△ADE（HL）即可解决问题.

解：（1）结论：DB＝DC．

理由：∵∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，

∴∠B＝∠C＝90°，

∵∠DAC＝∠DAB，AD＝AD，

∴△ADC≌△ADB．

∴BD＝CD．

故答案为BD＝CD．

（2）结论成立．

理由：如图②中，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．

∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE＝DF，

∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠FCD＝180°，

∴∠B＝∠FCD，

在△DFC和△EDB中，

，

∴△DFC≌△DEB，

∴DC＝DB．

（3）结论：AB＝AC+2BE．

理由：如图③中，连接AD．作DF⊥AC于F．

∵∠B+∠ACD＝180°，∠ACD+∠FCD＝180°，

∴∠B＝∠FCD，

在△DFC和△DEB中，

，

∴△DFC≌△DEB（AAS），

∴DF＝DE，CF＝BE，

在Rt△ADF和Rt△ADE中，

，

∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），

∴AF＝AE，

∴AB＝AE+BE＝AC+CF+BE＝AC+2BE．