Question

设方程a²x²+ax+1-7a²=0的两根都是整数，求所有正数a．

Answer 1

分析：根据根的判别式判断出

1

a2

的取值，进而根据根与系数的关系判断a的取值即可．

解答：解：∵方程有根，
∴a²-4a²×（1-7a²）≥0，
-3a²+28a⁴≥0，

1

a2

≤

28

3

，
∴x₁+x₂=-

1

a

；x₁x₂=

1

a2

-7，
∵两根之和与两根之积均为整数，
∴

1

a2

=1，4，9．
又∵-

1

a

为整数，∴

1

a

=1，2，3，
∴a=1，

1

2

，

1

3

．

点评：考查一元二次方程整数根的问题；利用根的判别式及根与系数的关系判断a的取值是解决本题的难点．