练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    20．如图，已知直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=-x2+bx+c经过A，B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以 $\sqrt{2}$个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）问：当t为何值时，△APQ为直角三角形；
    （3）设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：是否存在t的值，使以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

    分析 （1）先由直线AB的解析式为y=-x+3，求出它与x轴的交点A、与y轴的交点B的坐标，再将A、B两点的坐标代入y=-x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
    （2）由直线与两坐标轴的交点可知：∠QAP=45°，设运动时间为t秒，则QA=$\sqrt{2}$t，PA=3-t，然后再图①、图②中利用特殊锐角三角函数值列出关于t的方程求解即可；
    （3）设运动时间为t秒，可得OP=t，BQ=$\sqrt{2}$（3-t），然后分别从当△BOP∽△QBM时与当△BOP∽△MBQ时，去分析求解即可求得答案．

    解答 解：（1）∵y=-x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
    ∴当y=0时，x=3，即A点坐标为（3，0），
    当x=0时，y=3，即B点坐标为（0，3），
    将A（3，0），B（0，3）代入y=-x2+bx+c，
    得$\left\{\begin{array}{l}{-9+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
    ∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；

    （2）∵OA=OB=3，∠BOA=90°，
    ∴∠QAP=45°．
    如图①所示：∠PQA=90°时，设运动时间为t秒，则QA=$\sqrt{2}$t，PA=3-t．
    在Rt△PQA中，$\frac{QA}{PA}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即：$\frac{\sqrt{2}t}{3-t}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得：t=1；
    如图②所示：∠QPA=90°时，设运动时间为t秒，则QA=$\sqrt{2}$t，PA=3-t．
    在Rt△PQA中，$\frac{PA}{QA}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即：$\frac{3-t}{\sqrt{2}t}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得：t=$\frac{3}{2}$．
    综上所述，当t=1或t=$\frac{3}{2}$时，△PQA是直角三角形；

    （3）如图③所示：
    设运动时间为t秒，则OP=t，BQ=$\sqrt{2}$（3-t）．
    ∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
    ∴点M的坐标为（1，4）．
    ∴MB=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
    过点M作MH⊥y轴于点H，
    ∵MH=NH=1，OB=OA=3，
    ∴∠MBH=∠ABO=45°，
    ∴∠MBQ=90°，
    当△BOP∽△QBM时，$\frac{MB}{OP}=\frac{BQ}{OB}$，即：$\frac{\sqrt{2}}{t}=\frac{\sqrt{2}（3-t）}{3}$，整理得：t2-3t+3=0，
    △=32-4×1×3＜0，无解：
    当△BOP∽△MBQ时，$\frac{BM}{OB}=\frac{BQ}{OP}$，即：$\frac{\sqrt{2}}{3}=\frac{\sqrt{2}（3-t）}{t}$，解得t=$\frac{9}{4}$．
    ∴当t=$\frac{9}{4}$时，以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似．

    点评 本题主要考查的是二次函数、平行四边形、相似三角形的综合应用．利用含字母t的式子表示出相关线段的长度，根据图形的性质建立关于字母t的方程是解题的关键．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    10．某宾馆共有80个房间可供顾客居住．宾馆负责人根据前几年的经验作出预测：今年5月份，该宾馆每天的房间空闲数y（间）与每天的定价x（元/间）之间满足某个一次函数关系，且部分数据如表所示．
    每天的定价x（元/间）208 228 268 …
    每天的房间空闲数y（间）1015 25 …
    （1）该宾馆将每天的定价x（元/间）确定为多少时，所有的房间恰好被全部订完？
    （2）如果宾馆每天的日常运营成本为5000元，另外，对有顾客居住的房间，宾馆每天每间还需支出28元的各种费用，那么单纯从利润角度考虑，宾馆应将房间定价确定为多少时，才能获得最大利润？并请求出每天的最大利润．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    11．下列几何图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的个数是（　　）
    A．1个B．2个C．3个D．4个

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    8．（1）已知，如图1，在△ABC中，过C作 CD⊥AB，垂足为点D，则
    ①填空：sinA=$\frac{CD}{（AC）}$；
    ②求证：$\frac{BC}{sinA}=\frac{AC}{sinB}$．
    （2）你可以利用第（1）题的结论，来解决下列问题：
    如图（2），某渔船在B处，测得灯塔A在该船的北偏西30°的方向上，随后以20海里/小时的速度按北偏东30°的方向航行，2小时后到达C处，此时测得A在北偏西75°的方向上，求此时该船距灯塔A的距离AC．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    15．如图，点E为正方形ABCD中AD边上的一个动点，AB=16，以BE为边画正方形BEFG，边EF与边CD交于点H．
    （1）当E为边AD的中点时，求DH的长；
    （2）当tan∠ABE=$\frac{3}{4}$时，连接CF，求CF的长；
    （3）连接CE，求△CEF面积的最小值．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    5．我市干鲜经销公司，进了一种海味虾米共2000千克．进价为每千克20元，物价局规定其销售单价不得高于每千克50元，也不得低于每千克20元．市场调查发现：单价定为50元时，每天平均销售30千克；单价每降低1元，每天平均多售出2千克．在销售过程中，每天还要支出其他费用400元（天数不足一天时按整天计算）．设销售单价为每千克x元，每天平均获利为y元，请解答下列问题：
    （1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．
    （2）当销售单价是每千克多少元时，每天平均获利最多，最多利润是多少元？
    （3）若将这种虾米全部售出，比较每天平均获利最多和销售单价最高这两种销售方式，哪一种获总利润最多？多多少？

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    12．小明统计了他家今年5月份打电话的次数及通话时间，并列出了频数分布表：
    通话时间x/分钟0＜x≤55＜x≤1010＜x≤1515＜x≤20
    频数（通话次数）201695
    则通话时间不超过15分钟的频率是（　　）
    A．0.1B．0.4C．0.5D．0.9

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    9．如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为5的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C的坐标为（-1，0），点B在抛物线y=ax2+ax-2上．
    （1）点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（-3，1）；
    （2）抛物线的关系式为y=$\frac{1}{2}$x2+$\frac{1}{2}$x-2；
    （3）设（2）中抛物线的顶点为D，求△DBC的面积；
    （4）将三角板ABC绕顶点A逆时针方向旋转90°，到达△AB′C的位置．请判断点B′C′是否在（2）中的抛物线上，并说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    10．如图，直线l：y=-3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2-2ax+a+4（a＜0）经过点B．
    （1）求该抛物线的函数表达式；
    （2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；
    （3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′．
    ①写出点M′的坐标；
    ②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′，当直线l′与直线AM′重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l′与线段BM′交于点C，设点B、M′到直线l′的距离分别为d1、d2，当d1+d2最大时，求直线l′旋转的角度（即∠BAC的度数）．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案