Question

已知抛物线经过三点A（4，3），B（x₁，0），C（x₂，0），且x₁、x₂是方程x²-6x-3+17=0的两根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线y=2x+h与该抛物线相交于两点M（m，y₁）、N（n，y₂），m、n满足关系式m²+n²=12，求这条直线的解析式．

Answer 1

解：（1）设y=则无理方程变为y²-3y-4=0．
解得y=4，y=-1（舍去）；
∴4=，化简得x²-6x+5=0．
∴A、B两点的坐标为（1，0）和（5，0）．
设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c．依题意，得：
，
解得；
∴所求抛物线的解析式为y=-x²+6x-5．

（2）由题意知：-x²+6x-5=2x+h．
即x²-4x+5+h=0；
∴m+n=4，m•n=5+h；
又m²+n²=12
∴（m+n）²-2mn=12，
即4²-2（5+h）=12．
解得h=-3；
当h=-3时，△=（-4）²-4×1×2＞0成立．
∴直线的解析式为y=2x-3．
分析：（1）求抛物线解析式的关键是确定B、C两点的坐标，可通过解方程求出x₁，x₂的值来得出B、C的坐标（可先将无理方程通过去根号转换为有理方程，然后再进行求解），得出B、C坐标后，可用待定系数法求出抛物线的解析式．
（2）直线与抛物线有交点，那么可联立两函数式，可得出一个关于x的一元二次方程，两函数交点的横坐标即为此方程的根，根据一元二次方程根与系数的关系及m²+n²=12，即可求出抛物线的解析式．
点评：本题主要考查了无理方程的解法、二次函数解析式的确定、函数图象的交点、一元二次方程根与系数的关系等知识点．