Question

14．廖星富同学在学习过程中得出两个结论，结论1：直角三角形中，60°内角的两夹边长是2倍的关系．结论2：在一个三角形中，如果60°内角的两夹边长是2倍的关系，那么这个三角形是直角三角形．
（1）上述结论1正确．（填写“正确”或“不正确”）
（2）上述结论2正确吗？如果你认为正确，请你给出证明．如果你认为不正确，请你给出反例．
（3）等边三角形ABC边长为4，点P、Q分别从A、B出发，分别沿边AB、BC运动，速度是每秒1个单位长度，当P点到达B点时停止运动．请问当运动时间是多少秒时△BPQ是直角三角形？请你给出解题过程．

Answer 1

分析 （1）如图1，根据三角形的内角和得到∠A=30°，根据直角三角形的性质得到BC=$\frac{1}{2}$AB，于是得到结论；
（2）正确，如图2，取AB的中点D，连接CD，由线段中点的定义得到BD=AD=$\frac{1}{2}$AB，等量代换得到BC=BD，推出∠BCD=∠BDC=60°，根据等腰三角形和外角的性质得到∠A=∠ACD=$\frac{1}{2}∠$BDC=30°，即可得到结论；
（3）分两种情况考虑：（i）当PQ⊥BC时，如图所示，由速度是1厘米/秒，时间是t秒，利用速度×时间=路程表示出AP与BQ的长，再由AB-AP表示BP，由三角形ABC为等边三角形，得到∠B=60°，在直角三角形BPQ中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；（ii）当QP⊥AB时，如图所示，由速度是1厘米/秒，时间是t秒，利用速度×时间=路程表示出AP与BQ的长，再由AB-AP表示BP，由三角形ABC为等边三角形，得到∠B=60°，在直角三角形BPQ中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，综上，得到所有满足题意的t的值．

解答 解：（1）上述结论1正确，
如图1，∵∠C=90°，∠B=60°，
∴∠A=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB，
∴60°内角的两夹边长是2倍的关系；
故答案为：正确；

（2）正确，如图2，取AB的中点D，连接CD，
∴BD=AD=$\frac{1}{2}$AB，
∵BC=$\frac{1}{2}$AB，
∴BC=BD，
∵∠B=60°，
∴△BDC是等边三角形，
∴∠BCD=∠BDC=60°，
∵AD=CD，
∴∠A=∠ACD=$\frac{1}{2}∠$BDC=30°，
∴∠ACB=90°，
∴在一个三角形中，如果60°内角的两夹边长是2倍的关系，那么这个三角形是直角三角形正确．

（3）分两种情况考虑：
（i）当PQ⊥BC时，如图3所示：
由题意可得：AP=BQ=t，BP=4-t，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，
在Rt△BPQ中，cos60°=$\frac{BQ}{BP}$=$\frac{1}{2}$，即$\frac{t}{4-t}$=$\frac{1}{2}$，
解得：t=$\frac{4}{3}$秒；
（ii）当QP⊥AB时，如图4所示：
由题意可得：AP=BQ=t，BP=4-t，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，
在Rt△BPQ中，cos60°=$\frac{BP}{BQ}$=$\frac{1}{2}$，即$\frac{4-t}{t}$=$\frac{1}{2}$，
解得：t=$\frac{8}{3}$秒，
综上所述，t的值是$\frac{4}{3}$秒或$\frac{8}{3}$秒．

点评 此题考查了含30°角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，利用了分类讨论及方程的思想，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键．