Question

4．如图1：平面直角坐标系中，A（a，0）、B（0，b）满足a²+b²+2ab+$\sqrt{a+2}$=0．
（1）求△AOB的面积；
（2）如图2，△OBD为等边三角形，作CB⊥y轴交AD延长线于C，作DE⊥CD交y轴于E．求证：BC=BE；
（3）如图3，C（c，2）为第二象限内一动点，且-2＜c＜0．AC的中垂线交x轴于E，连接DE交y轴于点F，求△BCF的周长．

Answer 1

分析 （1）先利用非负数的和为0，求出a，b，再求出OA，OB，即可；
（2）由△OBD为等边三角形，判断出点D在OB的垂直平分线上，求出点D的坐标，从而求出直线AC，DE的解析式，再求出BC，BE，即可；
（3）根据（1）（2）求出的点的坐标，再求出点F的坐标，根据两点间的距离公式求出△BCF的三边，即可．

解答 解：（1）∵a²+b²+2ab+$\sqrt{a+2}$=0．
∴（a+b）²+$\sqrt{a+2}$=0，
∴a=-2，b=2，
∴A（-2，0），B（0，2），
∴OA=2，OB=2，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$×OA×OB=$\frac{1}{2}$×2×2=2；
（2）∵△OBD为等边三角形，且OB=4，
∴D（-$\sqrt{3}$，1），
∴直线AC的解析式为y=（2+$\sqrt{3}$）x+2（2+$\sqrt{3}$），
∵点C的纵坐标为2，
∴C（2-2$\sqrt{3}$，2），
∴BC=|2-2$\sqrt{3}$|=2$\sqrt{3}$-2，
∵直线AC的解析式为y=（2+$\sqrt{3}$）x+2（2+$\sqrt{3}$），
∴直线DE解析式为y=-（2-$\sqrt{3}$）x+4-2$\sqrt{3}$，
∵点E在y轴上，
∴E（0，4-2$\sqrt{3}$），
∴BE=2$\sqrt{3}$-2，
∴BC=BE．
（3）由（2）有，直线DE的解析式为y=-（2-$\sqrt{3}$）x+4-2$\sqrt{3}$，
∴E（2，0）
∵C（2-2$\sqrt{3}$，2），
∴CE解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∵点F在y轴上，
∴F（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
∴BF=2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，CF=$\frac{4}{3}$（3-$\sqrt{3}$）
∴△BCF的周长=BC+BF+CF=2$\sqrt{3}$-2+2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$+$\frac{4}{3}$（3-$\sqrt{3}$）=4．
∴△BCF的周长为4．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了非负数和为0的特点，直线解析式的确定方法，及三角形的面积计算，确定出直线AC，DE的解析式是解本题的关键，也是难点．