Question

如图，已知平面直角坐标系中三点A（4，0），（0，4），P（x，0）（x＜0），作PC⊥PB交过点A的直线l于点C（4，y）．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）当x取最大整数时，求BC与PA的交点Q坐标．

Answer 1

分析：（1）根据题已知点的坐标和图中几何关系，要求y关于x的函数解析式，得找到相似三角形，由图中垂直条件易知△BOP∽△PAC，再根据比例关系求出y关于x的函数解析式；
（2）由（1）知函数y的解析式，把x取最大整数时的值代入求得y的值，从而求出Q点坐标．

解答：解：（1）∵BO⊥PO，PC⊥PB，
∴∠PBO+∠BPO=90°，∠BPO+∠APC=90°，
∴∠PBO=∠APC，
∵A（4，0），C（4，y）在l上，
∴∠BOP=∠PAC=90°，
∴△BOP∽△PAC（两角对应相等，两三角形相似），
∴

PO

AC

=

BO

PA

，
∴

|x|

|y|

=

4

|x|+4

，
∵x＜0，y＜0，
∴

x

y

=

4

4-x

，
∴y=-

1

4

x²+x；

（2）∵x＜0，且x取最大整数，
∴x=-1，
此时y=-

1

4

×（-1）²-1=-

5

4

，
∵BO∥l，
∴△BOQ∽△CAQ，
∴

OQ

QA

=

BO

AC

，
设Q（a，0），有

a

4-a

=

4

|- 5 4 |

，5a=16（4-a），
∴a=

64

21

，
∴Q点的坐标为（

64

21

，0）．

点评：此题考查一次函数的性质及相似三角形的性质，第一问较新颖，求出函数的关系式，为下题作铺垫，同时又转化为求函数最值的问题．