Question

7．已知：如图，直线MN切⊙O于点C，AB为⊙O的直径，延长BA交直线MN于M点，AE⊥MN，BF⊥MN，E、F分别为垂足，BF交⊙O于G，连结AC、BC，过点C作CD⊥AB，D为垂足，连结OC、CG．
下列结论：其中正确的有①②③④．
①CD=CF=CE；        ②EF²=4AE•BF；
③AD•DB=FG•FB；     ④MC•CF=MA•BF．

Answer 1

分析 ①由MN与圆O相切于点C，根据弦切角定理可得∠ACE=∠ABC，又由AB为圆O直径，可得AC⊥BC，则可证得Rt△AEC≌Rt△ADC，同理可得Rt△BCD≌Rt△BCF，根据全等三角形的对应边相等，即可得CD=CF=CE；
②由①可证得Rt△ACE∽Rt△CBF，根据相似三角形的对应边成比例，与CE=CF=$\frac{1}{2}$EF，即可证得EF²=4AE•BF；
③由Rt△BCD≌Rt△BCF与Rt△ACE≌Rt△GCF即可证得AD•DB=FG•FB；
④由△AME∽△CMD与Rt△ACD∽Rt△BCF．利用相似三角形的对应边成比例，即可求得MC•CF=MA•BF．

解答 解：∵MN与圆O相切于点C，
∴∠ACE=∠ABC，
又∵AB为圆O直径，
∴AC⊥BC，
∵CD⊥AB，
∴∠ABC=90°-∠BAC=90°-∠DAC=∠ACD，
∴∠ACE=∠ACD，
∵∠AEC=∠ADC=90°，
在Rt△AEC和Rt△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEC=∠ADC}\\{∠ACE=∠ACD}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴Rt△AEC≌Rt△ADC（AAS），
∴CD=CE，
同理，Rt△BCD≌Rt△BCF，
∴CD=CE=CF，
故①正确；
由①的过程知：∠ACE=∠DBC=∠FBC，
∵∠AEC=∠CFB=90°，
∴Rt△ACE∽Rt△CBF，
∴$\frac{AE}{CF}$=$\frac{CE}{BF}$，
∴CE•CF=AE•BF，
由①的结论知，CE=CF=$\frac{1}{2}$EF，
∴$\frac{1}{4}$EF²=AE•BF
∴EF²=4AE•BF，
故②正确；
由①过程知，Rt△BCD≌Rt△BCF
∴DB=FB，…（1）
∵MN为⊙O切线，
∴∠FCG=∠FBC=∠ABC=∠ACE，
由①结论知，CE=CF，
∵∠AEC=∠GFC=90°，
在Rt△ACE和Rt△GCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEC=∠GFC}\\{CE=CF}\\{∠ACE=∠FCG}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACE≌Rt△GCF（ASA），
而由①的过程知，Rt△ACE≌Rt△ACD，
∴Rt△ACD≌Rt△GCF，
∴AD=FG，…（2）
由（1）（2）得到：AD•DB=FG•FB；
故③正确；
∵∠M=∠M，∠AEM=∠ADC，
∴△AME∽△CMD，
∴$\frac{MC}{DC}=\frac{MA}{AE}$，
∵AE=AD，
∴$\frac{MC}{DC}=\frac{MA}{DA}$，
∴$\frac{CM}{DC}=\frac{CD}{DA}$，…（3）
又∵Rt△ACD∽Rt△BCF，
∴$\frac{DC}{DA}=\frac{BF}{CF}$，…（4）
由（3）（4）得到：$\frac{MC}{MA}=\frac{BF}{CF}$，
∴MC•CF=MA•BF；
故④正确，
故答案为：①②③④．

点评 此题考查了圆周角定理，切线的性质，相似三角形与全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意比例的性质．