Question

已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图象经过A（1，1）、B （2，4）和C三点．
（1）用含a的代数式分别表示b、c；
（2）设抛物线y=ax²+bx+c顶点坐标（p，q），用含a的代数式分别表示p、q；
（3）当a＞0时，求证：p＜

3

2

，q≤1．

Answer 1

分析：（1）根据二次函数y=ax²+bx+c图象经过A（1，1）、B（2，4）可把此两点的坐标代入函数解析式，再用含a的代数式分别表示b、c即可；
（2）根据抛物线的顶点坐标公式即可求出p、q的值；
（3）根据（2）中求出的函数顶点坐标由a＞0即可判断出p、q的取值范围．

解答：解：（1）∵二次函数y=ax²+bx+c图象经过A（1，1）、B（2，4），
∴

1=a+b+c 4=4a+2b+c

（1分）
3=3a+b，
∴b=3-3a，（2分）
∴1=a+3-3a+c，
∴c=2a-2．（3分）
（2）∴p=-

b

2a

=

3a-3

2a

；（4分）
∴q=

4ac-b2

4a

=

4a(2a-2)-(3a-3)2

4a

=

-a2+10a-9

4a

；（6分）

（3）证明：∵a＞0，
∴-

3

2a

＜0，
∴p=-

b

2a

=

3

2

-

3

2a

＜

3

2

；（8分）
∵

-(a-3)2

4a

≤0，
∴q=

-a2+6a-9

4a

+

4a

4a

=

-(a-3)2

4a

+1≤1．（10分）

点评：本题考查的是二次函数综合题，此题涉及到用待定系数法求二次函数的解析式、顶点坐标及不等式的基本性质，难度适中．