Question

如图，在四边形ABCD中，CB=DC，∠BAD+∠BCD=180°，AC⊥BC，O是AB的中点．
（1）如图1，求证：∠OCD=∠OBC．
（2）如图2，E是AC上一点，连接OE并延长交AD于点F，连接BD，分别交AC、OC于点M、N，若∠FOC=3∠CBD，DM=

6

7

BN，试探究线段OE和EF之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）首先过点C作CT⊥AB于点T，CR⊥AD，交AD延长线于点R，易证得△CRD≌△CTB，继而证得：∠OCD=∠OBC．
（2）首先连接OD交AC于点H，过点D作DL∥AB交AC延长线于点L，易证得DL=DA，△MDL∽△MBA，继而可证得△OFD≌△CHO，△HAD∽△HCO，△AEF∽△CEO，继而可求得结论．

解答：（1）证明：过点C作CT⊥AB于点T，CR⊥AD，交AD延长线于点R，
∴∠CRD=∠CTB=90°，
设∠BAC=α，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∴∠B=90°-α，
又∵O是AB的中点，
∴OC=OB=OA，
∴∠OCA=α，∠OCB=90°-α，
∵∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠B+∠ADC=180°，
∵∠ADC+∠CDR=180°，
∴∠CDR=∠B=90°-α，
∵CB=DC，
在△CRD和△CTB中，

∠R=∠CTB ∠CDR=∠B CD=CB

，
∴△CRD≌△CTB（AAS），
∴CR=CT，
∴∠CAR=∠CAB=α，
∴∠CAR=∠ACO=α，
∴AD∥OC，
∴∠OCD+∠ADC=180°，
∵∠OBC+∠ADC=180°，
∴∠OCD=∠OBC；

（2）线段OE与EF之间的数量关系是：

EF

EO

=

11

10

，
连接OD交AC于点H，过点D作DL∥AB交AC延长线于点L，
∴∠L=∠LAB=∠DAL，∠LDB=∠DBA，
∴DL=DA，△MDL∽△MBA，
∴

MD

MB

=

LD

AB

=

AD

AB

，
∵∠BAD=2α，
∴∠BCD=180°-2α，
∵CD=CB，
∴∠CDB=∠CBD=α，
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB=∠OCD，
∴OC⊥BD，BN=DN，
∴OD=OB=OC=OA，
∴∠ODA=∠OAD=2α，
由（1）AD∥OC，
∴∠DOC=∠ODA=2α，∠BOC=∠OAD=2α，
∵∠FOC=3∠CBD=3α，∠FOD=α，
∴∠FOD=∠HCO=α，
在△OFD和△CHO中，

∠FOD=∠HCO ∠ODF=∠COH OD=OC

，
∴△OFD≌△CHO（AAS），
∴FD=OH，
设BN=7k，
∵DM=

6

7

BN，
∴DM=6k，MN=k，
∴BM=8k，
∴

MD

MB

=

AD

AB

=

AD

2OC

=

6k

8k

=

3

4

，
∴

AD

OC

=

3

2

，
∵∠DAC=∠OCA，∠AHD=∠CHO，
∴△HAD∽△HCO，
∴

AD

OC

=

DH

OH

=

3

2

，
设AD=3m，则OA=OC=OD=2m，
∴OH=

4

5

m，
∴FD=

4

5

m，
∴AF=AD-FD=3m-

4

5

m=

11

5

m，
∵∠OCA=∠DAC，∠FEA=∠OEC，
∴△AEF∽△CEO，
∴

EF

EO

=

AF

OC

=

11 5 m

2m

=

11

10

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．