Question

在合肥市地铁一号线的修建过程中，原设计的地铁车站出入口高度较低，为适应地形，把地铁车站出入口上下楼梯的高度普遍增加了，如图所示，已知原设计楼梯BD长20米，在楼梯水平长度（BC）不发生改变的前提下，楼梯的倾斜角由30°增大到45°，那么新设计的楼梯高度将会增加多少米？（结果保留整数，参考数据：

2

≈1.414，

3

≈1.732）

Answer 1

分析：先由BD=20m，∠DBC=30°求出BC及CD的长，再由∠ABC=45°即可得出AC的长，根据AD=AC-CD即可得出结论．

解答：解：∵Rt△BCD中，BD=20m，∠DBC=30°，
∴CD=BD•sin30°=20×

1

2

=10m，BC=BD•cos30°=20×

3

2

=10

3

，
在Rt△ABC中，BC=10

3

m，∠ABC=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC=10

3

m，
∴AD=AC-CD=10

3

-10≈7.3m．
答：新设计的楼梯高度将会增加7.3米．

点评：本题考查的是解直角三角形的应用及直角三角形的性质，解答此题的关键是熟记各特殊角度的三角函数值，利用三角函数的定义求出BC的长，再根据等腰直角三角形的性质进行解答．