Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)点D为直线AC下方抛物线上一动点；

①连接CD，是否存在点D，使得AC平分∠OCD？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．

②在①的条件下，若P为抛物线上位于AC下方的一个动点，以P、C、A、D为顶点的四边形面积记作S，则S取何值或在什么范围时，相应的点P有且只有2个？

Answer 1

【答案】(1)；(2)①存在，点的横坐标为；②

【解析】

（1）先求出点A、C坐标，再根据待定系数法求解即可；

（2）①若存在点D，使得AC平分∠OCD，则∠OCA=∠DCA，过点D作DE⊥x轴于点E，交直线AC于点F，如图1，则DE∥y轴，易得DC=DF，设D（m，），则可用含m的代数式表示出DF，然后根据DC=DF即可得出关于m的方程，解方程即得结果；

②先由①的结论求出点D的坐标和△ACD的面积，然后分点P在直线CD下方时，作PG⊥x轴于点G，交直线CD于点Q，如图2，利用二次函数的性质求出△PCD的最大面积，进一步即可求出有三个点P时的S的值；点P在直线AD下方时，辅助线作法如图3，再求出△PAD的最大面积，进而可求出只有一个点P时的S的值，于是可得结果．

解：（1）对，当y=0时，x=4，∴点A（4，0），

当x=0时，y=﹣2，∴点C（0，﹣2），

把A、C两点代入抛物线得：

，解得：，

∴抛物线的解析式是；

（2）①若存在点D，使得AC平分∠OCD，则∠OCA=∠DCA，

过点D作DE⊥x轴于点E，交直线AC于点F，如图1，则DE∥y轴，

∴∠OCA=∠DFC，∴∠DCF=∠DFC，∴DC=DF，

设D（m，），则F（m，），

∴，

∴，

解得：（舍去）或，

∴存在点D，使得AC平分∠OCD，且点D的横坐标是；

（3）对，当x=时，，∴点D的坐标是（，），

此时DF=，△ACD的面积=，

当点P在直线CD下方时，作PG⊥x轴于点G，交直线CD于点Q，如图2，

∵点C（0，﹣2），D（，），

∴直线CD的解析式为，

设点P的坐标是（n，），则Q（n，），

∴，

∴△PCD的最大面积=，

此时四边形CPDA的面积=；

当点P在直线AD下方时，作PG⊥x轴于点G，交直线CD于点Q，如图3，

∵点A（4，0），D（，），

∴直线AD的解析式为，

设点P的坐标是（n，），则Q（n，），

∴，

∴△PAD的最大面积=，

此时四边形CDPA的面积=；

综上，当S的取值范围为，相应的点P有且只有2个．