Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD=2AB，点E、F分别在AD、AB上，AE=BF，DF与CE相交于点P；
（1）求证：∠ADF=∠DCE；
（2）求∠DPC的度数．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC
∴∠BAD=∠ADC，AB=CD
∵BC=2AB=2AD，AE=BF
∴AF=DE，AD=DC，
在△FAD和△EDC中
，
∴△FAD≌△EDC（SAS）
∴∠ADF=∠DCE．

（2）解：过A作AG∥CD交BC于点G
∴四边形ADCG为平行四边形
∴AG=CD，AD=GC
∵BC=2AD=2CD
∴BG=CG=AG=AB
∴△ABG是等边三角形
∴∠B=60°
∴∠BAD=∠ADC=120°
∵∠ADF=∠DCE
∴∠DCE+∠FDC=∠ADF+∠FDC=∠ADC=120°
∴∠DPC=180°-120°=60°．
分析：（1）根据AD=AB、AE=BF得到AF=DE，再根据等腰梯形可以得出∠A=∠ADC，AB=CD=AD，所以△FAD≌△EDC，又全等三角形的对应角相等，此题得证；
（2）过A作AG∥CD得到等边三角形，求出∠B=60°，所以上底角是120°，再根据∠ADF=∠DCE和三角形内角和定理即可求出．
点评：本题第一问考查三角形全等的证明，比较简单；第二问中作辅助线得到等边三角形是解题的关键，也是解本题的难点，梯形的问题，主要考查的就是作辅助线．