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6.综合与实践:
问题情境:
    在综合实践课上,老师让同学们以“正方形纸片的剪拼”为主题展开教学活动,如图1,将一张正方形纸片ABCD沿对角线BD剪开,得到△ABD和△BCD,点O是对角线BD的中点.
操作发现:
(1)将图(1)中的△BCD沿DA方向平移,点D的对应点为D′,点B的对应点为B′,点O的对应点为O′,B′D′与AB交于点P,D′C与BD交于点Q,得到图(2),则四边形D′PBQ的形状是平行四边形.
(2)“实践小组”的同学将图(1)中的△BCD以点D为旋转中心,按顺时针方向旋转45°,得到△B′C′D,点O的对应点为O′,B′C′与AB交于点E,连接AO,O′C′交于点F,得到图(3),发现四边形AEC′F是菱形,请你证明这个结论.
实践探究:
(3)“创新小组”在实践小组操作的基础上,将图(3)中的△B′C′D以点C′为旋转中心,按逆时针方向旋转,使得C′D′⊥AD,垂足为M,B′C′⊥AB,垂足为N,分别连接OM,MO′,O′N,ON,得到图(4),他们认为四边形OMO′N是正方形.“创新小组”的发现是否正确?请你说明理由.
(4)请你参照以上操作,将图(1)中的△BCD在同一平面内进行一次图形变换,得到△B′C′D′,在图(5)中画出图形变换后构造出的新图形.标明字母,说明图形变换及构图方法,写出你发现的结论,不必证明.

分析 (1)利用平移的性质直接得出结论;
(2)先利用旋转的性质和正方形的性质得出四边形AEC′F是平行四边形,再判断出△AB′E≌△C′BE即可得出结论;
(3)利用性质和正方形的性质判断出△OAM≌△O′D′M≌△O′C′N≌△OBN即可得出OM=O′M=O′N=ON,∠MOA=∠NOB,再判断出∠NOM=90°即可得出结论;
(4)作出△BCD沿BD方向平移的△B'C'D',用全等三角形的性质即可得出结论.

解答 解:(1)∵△B'C'D'是△BCD平移得到,
∴B'D'∥BD,AD∥B'C',
∴四边形PBQD'是平行四边形,
故答案为平行四边形;                           

(2)∵四边形ABCD为正方形,∠ADB=∠CDB=45°,
∴将△BCD以点D为旋转中心,顺时针旋转45°后,点C′落在BD上,点B′落在DA的延长线上.
∵AB⊥AD,C′O′⊥AD,
∴AB∥O′C′.
∵B′C′⊥BD,AO⊥BD,
∴B′C′∥AO.
∴四边形AEC′F是平行四边形.
∵BD=B′D′,AD=C′D,
∴AB′=BC′,
又∵∠EAB′=∠EC′B,∠B=∠B′=45°,
∴△AB′E≌△C′BE,
∴AE=EC′,
∴四边形AEC′F菱形.

(3)“创新小组”的发现是正确的.
如图1,连接OA,O′C′,则四边形ANC′M是矩形.
∵△C′MD,△AB′N是等腰直角三角形.
∴DM=MC′,AN=B′N,
又∵AB=B′C′=C′D′=AD,
∴AM=D′M=BN=NC′.
又∵OA=OD=OB,O′C′=O′D′=O′B′,
∴OA=O′C′,
∵∠OAD=∠O′D′M=∠O′C′N=∠B=45°,
∴△OAM≌△O′D′M≌△O′C′N≌△OBN,
∴OM=O′M=O′N=ON,∠MOA=∠NOB
又∵OA⊥BD,∠AOB=90°,
∴∠NOM=90°,
∴四边形NOMO′是正方形.

(4)如图2所示.
构图方法:将△BCD沿BD方向平移,得到△B′C'D′,
连接AB′、DC'.
结论:四边形AB′C'D是平行四边形.
理由:∵△B'C'D'是△BCD沿BD方向平移所得,∴AD=B'C',AD∥B'C',∴∠ADB'=∠C'B'D,
在△AB'D和△CDB'中,$\left\{\begin{array}{l}{AD=C'B'}\\{∠ADB'=∠C'B'D}\\{B'D=DB'}\end{array}\right.$,
∴△AB'D≌△CDB',
∴AD=C'B',
∵AD∥B'C',
∴四边形AB′C'D是平行四边形.

点评 此题是四边形综合题,主要考查了正方形的性质,平移,旋转的性质,全等三角形的判定和性质,解(1)的关键是利用平移的性质,解(2)的关键是判断出四边形AEC′F是平行四边形,解(3)的关键是△OAM≌△O′D′M≌△O′C′N≌△OBN,解(4)的关键是作出图形.

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