分析 (1)利用平移的性质直接得出结论;
(2)先利用旋转的性质和正方形的性质得出四边形AEC′F是平行四边形,再判断出△AB′E≌△C′BE即可得出结论;
(3)利用性质和正方形的性质判断出△OAM≌△O′D′M≌△O′C′N≌△OBN即可得出OM=O′M=O′N=ON,∠MOA=∠NOB,再判断出∠NOM=90°即可得出结论;
(4)作出△BCD沿BD方向平移的△B'C'D',用全等三角形的性质即可得出结论.
解答 解:(1)∵△B'C'D'是△BCD平移得到,
∴B'D'∥BD,AD∥B'C',
∴四边形PBQD'是平行四边形,
故答案为平行四边形;
(2)∵四边形ABCD为正方形,∠ADB=∠CDB=45°,
∴将△BCD以点D为旋转中心,顺时针旋转45°后,点C′落在BD上,点B′落在DA的延长线上.
∵AB⊥AD,C′O′⊥AD,
∴AB∥O′C′.
∵B′C′⊥BD,AO⊥BD,
∴B′C′∥AO.
∴四边形AEC′F是平行四边形.
∵BD=B′D′,AD=C′D,
∴AB′=BC′,
又∵∠EAB′=∠EC′B,∠B=∠B′=45°,
∴△AB′E≌△C′BE,
∴AE=EC′,
∴四边形AEC′F菱形.
(3)“创新小组”的发现是正确的.
如图1,连接OA,O′C′,则四边形ANC′M是矩形.
∵△C′MD,△AB′N是等腰直角三角形.
∴DM=MC′,AN=B′N,
又∵AB=B′C′=C′D′=AD,
∴AM=D′M=BN=NC′.
又∵OA=OD=OB,O′C′=O′D′=O′B′,
∴OA=O′C′,
∵∠OAD=∠O′D′M=∠O′C′N=∠B=45°,
∴△OAM≌△O′D′M≌△O′C′N≌△OBN,
∴OM=O′M=O′N=ON,∠MOA=∠NOB
又∵OA⊥BD,∠AOB=90°,
∴∠NOM=90°,
∴四边形NOMO′是正方形.
(4)如图2所示.
构图方法:将△BCD沿BD方向平移,得到△B′C'D′,
连接AB′、DC'.
结论:四边形AB′C'D是平行四边形.
理由:∵△B'C'D'是△BCD沿BD方向平移所得,∴AD=B'C',AD∥B'C',∴∠ADB'=∠C'B'D,
在△AB'D和△CDB'中,$\left\{\begin{array}{l}{AD=C'B'}\\{∠ADB'=∠C'B'D}\\{B'D=DB'}\end{array}\right.$,
∴△AB'D≌△CDB',
∴AD=C'B',
∵AD∥B'C',
∴四边形AB′C'D是平行四边形.
点评 此题是四边形综合题,主要考查了正方形的性质,平移,旋转的性质,全等三角形的判定和性质,解(1)的关键是利用平移的性质,解(2)的关键是判断出四边形AEC′F是平行四边形,解(3)的关键是△OAM≌△O′D′M≌△O′C′N≌△OBN,解(4)的关键是作出图形.
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A. | 长度相等的弧是等弧 | |
B. | 平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧 | |
C. | 弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧 | |
D. | 平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦 |
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