Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．

（1）求证：点D是BC的中点；

（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（3）如果⊙O的直径为9，cosB=，求DE的长．

Answer 1

（1）证明：连接AD．

∵AB为直径，∴AD⊥BC．

又∵AB=AC，

∴D是BC的中点；                             ----------------------      2分

（2）DE是⊙O的切线．                        -----------------------      3分

证明：连接OD．

∵BD=DC，OB=OA，

∴OD∥AC．

∵AC⊥DE，

∴OD⊥DE．

∴DE是⊙O的切线．                          -----------------------       6分

（3）解：∵AB=9，cosB=，

∴BD=3．

∴CD=3．

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∴cosC=．                                  --------------------         8分

∴在△CDE中，

CE=1，DE==．       --------------------      10分