Question

18．如图，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+（6-4k）（其中k为正整数）与x轴相交于两个不同的点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴相交于点C，连结AC、BC．
（1）求k的值；
（2）如图①，设点D是线段AC上的一动点，作DE⊥x轴于点F，交抛物线于点E，求线段DE长度的最大值；
（3）如图②，抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据函数图象与x轴有两个交点，可得判别式大于零，根据解不等式，可得答案；
（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；
（3）根据两个角对应相等得两个三角形相似，可得P₁，根据抛物线的对称性，可得P₂，根据对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得关于n的方程，根据解方程，可得答案．

解答 解：（1）抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+（6-4k）（其中k为正整数）与x轴相交于两个不同的点A、B，得
-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+（6-4k）=0，
△=b²-4ac=（-$\frac{3}{2}$）²-4×（-$\frac{1}{2}$）×（6-4k）＞0，
解得k＜$\frac{57}{32}$，
∵k为正整数，
∴k=1；
（2）如图1，

由-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2=0，解得x₁=-4，x₂=1，
∴点A（-4，0），B（1，0）．
令x=0，得y=2，
∴点C的坐标为（0，2）．
设直线AC的解析式为y=ax+b，则$\left\{\begin{array}{l}{-4a+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
直线AC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+2，
设E（m，-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+2），D（m，$\frac{1}{2}$m+2），
DE=-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+2-（$\frac{1}{2}$m+2）=-$\frac{1}{2}$m²-2m=-$\frac{1}{2}$（m+2）²+2，
当m=-2时，线段DE长度的最大值是2；
（3）如图2，
，
在Rt△AOC中，AC=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，在Rt△BOC中，BC=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵AC²+BC²=20+5=25=AB²，
∴∠ACB=90°，CO⊥AB，
∴△ABC∽△AOC∽△CBO，
①若点M在x轴上方时，当M点与C点重合，即M（0，2）时，△MAN∽△BAC．
根据抛物线的对称性，当M（-3，2）时，△MAN∽△ABC；
②若点M在x轴的下方时，设N（n，0），则M（n，-$\frac{1}{2}$n²-$\frac{3}{2}$n+2），
∴MN=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{3}{2}$n-2，AN=n+4，
当$\frac{MN}{BC}$=$\frac{AN}{AC}$，即$\frac{MN}{AN}$=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}$=$\frac{1}{2}$时，MN=$\frac{1}{2}$AN，即$\frac{1}{2}$n²+$\frac{3}{2}$n-2=$\frac{1}{2}$（n+4），化简，得
n²+2n-8=0，
n₁=-4（舍），n₂=2，M（2，-3）；
当$\frac{MN}{AC}$=$\frac{AN}{BC}$，即$\frac{MN}{AN}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$=$\frac{2}{1}$时，MN=2AN，即$\frac{1}{2}$n²+$\frac{3}{2}$n-2=2（n+4）化简，得
n²-n-20=0，解得
n₁=-4（舍去），n₂=5，M（5，-18），
综上所述：存在点M₁（0，2），M₂（-3，2），M₃（2，-3），M₄（5，-18），使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用方程得解得出判别式的不等式是解题关键；利用平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标是解题关键；利用相似三角形的对应变得比相等得出方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．