Question

【题目】如图，点C为线段AE上一动点（不与点A，点E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下四个结论，①AD＝BE；②CP＝CQ；③OB＝DE；④PQ∥AE，一定成立的结论有_____（请把正确结论的序号填在横线上）．

Answer 1

【答案】①②④．

【解析】

根据等边三角形的三边都相等，三个角都是60°，可以证明△ACD与△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝BE，所以①正确，对应角相等可得∠CAD＝∠CBE，然后证明△ACP与△BCQ全等，根据全等三角形对应角相等可得PC＝PQ，所以②正确；从而得到△CPQ是等边三角形，再根据等腰三角形的性质可以找出相等的角，从而证明PQ∥AE，所以④正确

解：∵等边△ABC和等边△CDE，

∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，

∴180°﹣∠ECD＝180°﹣∠ACB，

即∠ACD＝∠BCE，

在△ACD与△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD＝BE，故①正确；

∵△ACD≌△BCE（已证），

∴∠CAD＝∠CBE，

∵∠ACB＝∠ECD＝60°（已证），

∴∠BCQ＝180°﹣60°×2＝60°，

∴∠ACB＝∠BCQ＝60°，

在△ACP与△BCQ中，

，

∴△ACP≌△BCQ（ASA），

∴AP＝BQ，PC＝QC，故②正确；

∴△PCQ是等边三角形，

∴∠CPQ＝60°，

∴∠ACB＝∠CPQ，

∴PQ∥AE，故④正确；

故答案为①②④．