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    19．在平面直角坐标系中，抛物线y=$\frac{1}{2}$x2-$\frac{3}{2}$x-2与x轴交与A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，连接BD
    （1）求点A，B，C的坐标．
    （2）当点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l，交抛物线于点M，交直线BD于点N
    ①当点P在线段OB上运动时（不与O、B重合），求m为何值时，线段MN的长度最大，并说明此时四边形DCMN是否为平行四边形
    ②当点P的运动过程中，是否存在点M，使△BDM是以BD为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

    分析 （1）利用抛物线解析式容易求得A、B、C的坐标；
    （2）①可求得直线BD的解析式，利用m可表示出MN的长，则可利用二次函数的性质求得MN的最大值，再判断MN与CD是否相等即可；②由题意可知有BM⊥BD或DM⊥BD，当BM⊥BD时可设出M点的坐标，从而可表示出BP和MP的长，利用△OBD∽△PMB，可得到关于M点坐标的方程，从而可求得M点的坐标；当DM⊥BD时，由条件可知A点满足条件，由A、D坐标可求得直线AD解析式，联立直线AD和抛物线解析式，则可求得满足条件的M点的坐标．

    解答 解：
    （1）在y=$\frac{1}{2}$x2-$\frac{3}{2}$x-2中，令y=0可得0=$\frac{1}{2}$x2-$\frac{3}{2}$x-2，解得x=-1或x=4，
    ∴A（-1，0），B（4，0），
    在y=$\frac{1}{2}$x2-$\frac{3}{2}$x-2中，令x=0可得y=-2，
    ∴C（0，-2）；
    （2）①∵D与C关于x轴对称，
    ∴D（0，2），且B（4，0），
    ∴可设直线BD解析式为y=kx+2，把B点坐标代入可得4k+2=0，解得k=-$\frac{1}{2}$，
    ∴直线BD解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
    ∵P（m，0），
    ∴N（m，-$\frac{1}{2}$m+2），M（m，$\frac{1}{2}$m2-$\frac{3}{2}$m-2），
    ∵P在线段OB上，
    ∴M在x轴下方，
    ∴MN=-$\frac{1}{2}$m+2-（$\frac{1}{2}$m2-$\frac{3}{2}$m-2）=-$\frac{1}{2}$m2+m+4=-$\frac{1}{2}$（m-1）2+$\frac{9}{2}$，
    ∵-$\frac{1}{2}$＜0，
    ∴当m=1时，MN有最大值，最大值为$\frac{9}{2}$，
    ∵CD=4≠MN，
    ∴四边形DCMN不是平行四边形；
    ②当△BDM是以BD为直角边的直角三角形时，只有MB⊥BD或DM⊥BD，
    当MB⊥BD时，如图1，

    设P（m，0），则M（m，$\frac{1}{2}$m2-$\frac{3}{2}$m-2），且B（4，0），D（0，2），
    ∴BP=|4-m|，PM=|$\frac{1}{2}$m2-$\frac{3}{2}$m-2|，OB=4，OD=2，
    ∵∠MBD=90°，
    ∴∠OBD+∠PBM=∠ODB+∠OBD=90°，
    ∴∠ODB=∠PMB，
    ∴△OBD∽△PMB，
    ∴$\frac{OB}{MP}$=$\frac{OD}{PB}$，即$\frac{4}{|\frac{1}{2}{m}^{2}-\frac{3}{2}m-2|}$=$\frac{2}{|m-4|}$，解得m=3或m=4（舍去），
    ∴M点坐标为（3，-2）；
    当MD⊥BD时，如图2，

    ∵OA=1，OD=2，OB=4，
    ∴$\frac{OA}{OD}$=$\frac{OD}{OB}$，且∠AOD=∠BOD，
    ∴△AOD∽△DOB，
    ∴∠ADO=∠DBO，
    ∴∠ADB=∠ADO+∠BDO=∠DBO+∠BDO=90°，即AD⊥BD，
    ∴A点即为满足条件的M点，此时M坐标为（-1，0），
    ∵D（0，2），
    ∴可设直线AD解析式为y=kx+2，
    把A点坐标代入可得0=-k+2，解得k=2，
    ∴直线AD解析式为y=2x+2，
    联立直线AD和抛物线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+2}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}x-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=18}\end{array}\right.$，
    ∴直线AD上的另一M点坐标为（8，18）；
    综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（3，-2）或（-1，0）或（8，18）．

    点评 本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象与坐标轴的交点、待定系数法、二次函数的性质、相似三角形的判定和性质、方程思想等知识．在（1）中注意函数图象与坐标轴交点的求法，在（2）中用m表示出MN的长是解题的关键，在（3）中确定出M的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．

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    （1）若点P在反比例函数y=$\frac{1}{x}$的图象上，且它的幸福指数d=2，请直接写出所有满足条件的P点坐标；
    （2）一次函数y=-x+1是幸福函数吗？请判断并说明理由；
    （3）若二次函数y=x2-（2m+1）x+m2+m（m＞0）是幸福函数，试求出m的取值范围．

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    A．$\frac{1}{2}$B．$\frac{1}{4}$C．$\frac{1}{3}$D．$\frac{1}{6}$

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    （1）n=4，OA=10；
    （2）点C（m，0）在线段OA上运动（不与A、O重合），BD⊥BC，交y轴正半轴于点D，求△BCD的面积S与m的函数关系式，并求S的最小值；
    （3）在（2）的条件下，是否存在△OCD与△OAB相似？若存在．请直按写出m的值，若不存在，请说明理由．

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