如图.在Rt△ABC中.∠C=90°.AB=50.AC=30.D.E.F分别是AC.AB.BC的中点．以AB所在直线为x轴.B点为坐标原点建立平面直角坐标系.点P从点D出发沿折线DE-EF-FC-CD以每秒7个单位长度的速度匀速运动,点Q从点B出发沿BA方向以每秒4个单位长度的速度匀速运动.过点Q作射线QK⊥AB.交折线BC-CA于点G.点P.Q同时出发.当点P绕行一周� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

1．

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，AC=30，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点．以AB所在直线为x轴，B点为坐标原点建立平面直角坐标系，点P从点D出发沿折线DE-EF-FC-CD以每秒7个单位长度的速度匀速运动；点Q从点B出发沿BA方向以每秒4个单位长度的速度匀速运动，过点Q作射线QK⊥AB，交折线BC-CA于点G，点P，Q同时出发，当点P绕行一周回到点D时停止运动，点Q也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）经过A，B，C三点的抛物线的解析式是y=-$\frac{1}{24}$x²-$\frac{25}{12}$x；
（2）射线QK能否把四边形CDEF分成面积相等的两部分？若能，求出t的值．若不能，说明理由；
（3）当点P运动到折线EF-FC上，且点P又恰好落在射线QK上时，求t的值；
（4）连结PG，当PG∥AB时，请直接写出t的值．

分析（1）先求得点C和点A的坐标，设抛物线的解析式为y=ax（x+50），将点C的坐标代入可求得a的值；
（2）连接DF，过点F作FH⊥AB，垂足为H，先证明四边形CDEF为矩形，故此当QK经过DF的中点是QK平分四边形CDEF的面积；
（3）当点P在EF上时．先求得EQ和BQ的长，然后依据EQ+BQ=EB列方程求解即可；当点P在FG上时，先求得PB=5t，PF=7t-35，然后依据PB=PF+FB列方程求解即可；
（4）分为点P在ED上，点P在EF上，点P在CF，点P在DC上四种情况，过点P作PH⊥AB，然后依据PH=QG列方程求解即可．

解答解：（1）在Rt△ABC中，依据勾股定理可知BC=40．
∴点C的横坐标=-40×$\frac{4}{5}$=-32，点C的纵坐标=40×$\frac{3}{5}$=24．
∴C（-32，24）．
∵AB=50，
∴A（-50，0）．
设抛物线的解析式为y=ax（x+50），将点C的坐标代入得：18×（-32）a=24，解得a=-$\frac{1}{24}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{24}$x²-$\frac{25}{12}$x．
故答案为：y=-$\frac{1}{24}$x²-$\frac{25}{12}$x．
（2）能．
理由：如图1所示：连接DF，过点F作FH⊥AB，垂足为H．

∵D、F、E分别为AC、BC、AB的中点，
∴EF∥DC，DE∥CF，DF∥AB且DF=25．
∴四边形CDEF为平行四边形．
又∵∠C=90°，
∴四边形CDEF为矩形．
∴当QK经过DF的中点M时，QK把矩形分为面积相等的两部分．
∵FM=QH，
∴QH=12.5．
∵BH=FBcos∠B=20×$\frac{4}{5}$=16，
∴QB=QH+HB=28.5
∴t=$\frac{28.5}{4}$=7$\frac{1}{8}$．
（3）如图2所示：当点P在EF上时．

∵EQ=$\frac{3}{5}$EP=$\frac{3}{5}$（7t-20），QB=4t，EQ+BQ=EB，
∴$\frac{3}{5}$（7t-20）+4t=25，解得：t=4$\frac{21}{41}$．
如图3所示：当点P在FG上时．

∵QB=4t，
∴PB=5t．
又∵PF=7t-35，
∵PB=PF+FB，
∴5t=7t-35+20，解得t=7$\frac{1}{2}$．
综上所述，可知t的值为4$\frac{21}{41}$或7$\frac{1}{2}$．
（4）如图4所示：当点P在ED上时．过点P作PH⊥AB，垂足为H．

∵PH∥GQ，
∴当PH=QG时，四边形PHQG为平行四边形．
∴此时PG∥AB．
∵PH=$\frac{3}{5}$（20-7t），GQ=$\frac{3}{4}$QB=3t，
∴$\frac{3}{5}$（20-7t）=3t，解得：t=$\frac{5}{3}$．
如图5所示：当2$\frac{6}{7}$＜t＜5时，点P在EF上．

∵PH=GQ，
∴$\frac{4}{5}$（7t-20）=3t，解得t=$\frac{80}{13}$．
∵$\frac{80}{13}$＞5，
∴此种情况不成立．
当点P在CF上运动时，点G与点P均在BC上，PG与AB不平行．
如图6所示：当点P在CD时，作PH⊥AB，垂足为H．

∵AC=30，PC=7t-55，
∴PH=$\frac{4}{5}$（85-7t）．
又∵QG=3t，
∴$\frac{4}{5}$（85-7t）=3t，解得t=7$\frac{39}{43}$．
综上所述，当t=$\frac{5}{3}$或t=7$\frac{39}{43}$时，PG∥AB．

点评本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，平行线四边形的性质性质和判定、勾股定理、锐角三角函数的定义，分类讨论是解答本题的关键．

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