Question

如图，在矩形ABCD中，AB=3，P是射线AD上一点(除端点外)，过三点A、B、P作⊙O． (1) 当BC=4，AP=3时，求的值，并判断CD与⊙O的位置关系，证明你的结论； (2) 当BC=4时，如果CD与⊙O相切，如图(b)，求BC边被⊙O所截得的弦长； (3) 如果当BC=a(a＞0)时，无论点P是射线AD上任一点(除端点外)，直线CP都与⊙O相交，如图(c)，求a的取值范 围．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：(1)= 　　过点O作EF∥AD，分别交AB、CD于点E、F 　　则，点E、F分别是AB、CD的中点，EF=BC=4 　　∴OE=AP= 　　∴OF=EF–OE=4–= 　　在Rt△APB中 　　∴PB===3 　　∴OP=PB= 　　∵＞ 　　∴OF＞OP 　　∴CD与⊙O相离
(2)	设BC与⊙O交于点M，连结PM 　　在△ABP和△MPB中 　　∵ 　　∴△ABP≌△MPB 　　∴AP=MB 　　设MB=AP=x(x＞0) 　　则OE=AP= 　　OF=EF–OE=4– 　　PB== 　　OP=PB= 　　∵CD与⊙O相切 　　∴OF=OP 　　∴4–= 　　解得x= 　　∴BC被⊙O截得的弦长为
(3)	∵点P在⊙O上 　　∴CP只可能与⊙O相切或相交 　　令PC与⊙O相切于点P，连结PC，则∠CPB=∠BAP=90° 　　由∠5+∠6=90°，∠7+∠6=90°∴∠5=∠7 　　∴△ABP∽△PCB 　　∴=即BP2=AP·CB 　　设AP=x(x＞0) 　　∴BP== 　　∴x2+9=ax即x2－ax+9=0 　　∴方程x2－ax+9=0有正实数解，设方程x2－ax+9=0的两实数根分别为x1、x2 　　又∵ 　　∴△=a2－4×1×9=a2－36 　　令y=a2－36，观察其函数图象，考虑到a＞0,得 　　当a≥6时，△≥0 　　∴当0＜a＜6时，CP不可能与⊙O相切，无论点P是 　　边AD上任一点(除端点A外)，CP都与⊙O相交