Question

19．△ABC中，∠A=60°，BD，CE分别是∠ABC，∠ACD的平分线，BD与CE交于l点．

（1）如图1，若△ABC为等边三角形，则∠BIC=120°，IE=ID，BE+CD=BC；
（2）如图2，若△ABC为任意三角形，①求∠BIC；②求证：IE=ID，BE+CD=BC．

Answer 1

分析 （1）利用等边三角形的性质，再根据三角形的内角和和角平分线的定义进行分析，利用全等三角形的判定和性质进而解答即可；
（2）①证明∠EBI=∠CBI=α，∠DCI=∠BCI=β，求出α+β=60°，证明∠BIE=α+β=60°问题即可解决．
②证明∠A+∠EID=180°，得到A、E、I、D四点共圆；证明∠EAI=∠DAI，故IE=ID，进而利用全等三角形的判定和性质证明即可．

解答 解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°，
∵BD，CE分别是∠ABC，∠ACD的平分线，
∴∠IBC=∠ICB=30°，
∴∠BIC=120°，
∴IB=IC，
在△EBI与△DCI中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBI=∠DCI}\\{IB=IC}\\{∠BIE=∠CID}\end{array}\right.$，
∴△EBI≌△DCI（ASA），
∴IE=ID，BE=CD，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC，
∵∠BEC=180°-30°-60°=90°，
∴BE=AE=CD，
∴BE+CD=BC．
故答案为：120；=；=；
（2）①∵BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠EBI=∠CBI=α，∠DCI=∠BCI=β；
又∵∠A=60°，
∴2α+2β=180°-60°=120°，
∴α+β=60°，
∴∠BIE=α+β=60°，
∴∠BIC=120°．
②如图1，连接AI；

∵∠BIE=60°，
∴∠EID=120°，
∴∠A+∠EID=180°，
∴A、E、I、D四点共圆，设为⊙O；
由题意知在⊙O中，∠EAI=∠DAI，
∴IE=ID（相等的圆周角所对的弦相等），
在BC上取一点F使BE=BF，如图2，

在△EBI与△FBI中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=BF}\\{∠EBI=∠IBF}\\{BI=BI}\end{array}\right.$，
∴△EBI≌△FBI（SAS），
∴EI=IF，∠BIE=∠BIF=60°，
∵IE=ID，∠DIC=∠BIE=60°，
∴IF=ID，∠FIC=∠DIC=60°，
在△DIC与△FIC中，
$\left\{\begin{array}{l}{IF=ID}\\{∠FIC=∠DIC}\\{IC=IC}\end{array}\right.$，
∴△DIC≌△FIC（SAS），
∴DC=FC，
∴BE+DC=BF+FC=BC．

点评 该题主要考查了三角形角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、四点共圆的判定及其应用等几何知识点；关键是利用全等三角形的判定和性质解答．