Question

已知：如图（1），在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D、E分别是AB、AC边的中点，将△ABC绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜180°），得到△AB′C′（如图（2））．
（1）探究DB′与EC′的数量关系，并给予证明；
（2）当旋转角α=60°时，猜想DB′与AE的位置关系并说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）由于AB=AC，∠BAC=90°，D、E分别是AB、AC边的中点，则AD=AE=

1

2

AB，再根据旋转的性质得到∠B′AD=∠C′AE=α，AB′=AB，AC′=AC，则AB′=AC′，根据三角形全等的判定方法可得到△B′AD≌△C′AE（SAS），则有DB′=EC′；
（2）DB'∥AE．如图2，延长AE使AE=EF，连接FC'．易证△AFC'是等边三角形，则由“三线合一”的性质推知∠AEC'=90°．结合△B′AD≌△C′AE，得
∠ADB'=∠AEC'=90°，则∠ADB'=∠DAE=90°，故DB'∥AE．

解答：（1）DB'=EC'…（1分）
证明：D、E分别是AB、AC边的中点，
∴AD=

1

2

AB，AE=

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2

AC．
∵AB=AC，
∴AD=AE．
∵△B′AC′是△BAC顺时针旋转得到，
∴∠DAB′=∠EAC′=α，AC′=AC=AB′=AB，
在△B′AD与△C′AE中，

AD=AE ∠DAB′=∠EAC′ AB′=AC′

，
∴△B′AD≌△C′AE（SAS），
∴DB′=EC′；

（2）猜想：DB'∥AE．
延长AE使AE=EF，连接FC'．
∴AC'=AF
∵α=60°
∴△AFC'是等边三角形
∴C'E⊥AF，即∠AEC'=90°
由△B′AD≌△C′AE，得∠ADB'=∠AEC'=90°
∴∠ADB'=∠DAE=90°
∴DB'∥AE．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点与旋转中心的连线段的夹角都等于旋转角．也考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质．