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如图一,有一个圆O和两个正六边形T1,T2.T1的六个顶点都在圆周上,T2的六条边都和圆O相切(我们称T1,T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形).

(1)请你在备用图中画出圆O的内接正六边形,并简要写出作法;
(2)设圆O的半径为R,求T1,T2的边长(用含R的式子表示);
(3)设圆O的半径为R,求图二中阴影部分的面积(用含R的式子表示)
【答案】分析:(1)先画出60°的圆心角,确定圆心角所对的弧,在圆上依次截取与弧AB相等的弧即可;
(2)连接OG,得到Rt△OGB≌Rt△OGA,然后利用勾股定理解答;
(3)根据“阴影部分的面积=外切正六边形的面积-内接正六边形的面积”,并把正六边形的面积转化为
六个三角形面积的和解答.
解答:解:(1)如图

作法:①在⊙O中做圆心角∠AOB=60°;
②在⊙O上依次截取与弧AB相等的弧,得到圆的6个等分点A、B、C、D、E、F;
③顺次连接各点,六边形ABCDEF即为所求正六边形.(4分)

(2)如图:

∵由(1)知△AOB为等边三角形,
∴T1的半径为R.(6分)
连接OG,可知Rt△OGB≌Rt△OGA,
∴∠OGB=60°,
∴BG=
设BG为x,由勾股定理有:x2+R2=(2x)2
解得:
外切正六边形的边长为.(8分)

(3)由图知:
阴影部分的面积=外切正六边形的面积-内接正六边形的面积,
∵内接正六边形的面积为S△AOB的六倍,
∴内接正六边形的面积为:.(9分)
∵外切正六边形的面积为S△OGH的六倍,
∴外切正六边形的面积为:.(10分)
.(12分)
点评:此题考查了圆和其内接正六边形、外切正六边形之间的关系,要转化为正三角来解答.
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(2)设圆O的半径为R,求T1,T2的边长(用含R的式子表示);
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(2)设圆O的半径为R,求T1,T2的边长(用含R的式子表示);
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(1)请你在备用图中画出圆O的内接正六边形,并简要写出作法;

(2)设圆O的半径为R,求T1,T2的边长(用含R的式子表示);

(3)设圆O的半径为R,求图二中阴影部分的面积(用含R的式子表示).

          

图一                   备用图                 图二

 

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(1)请你在备用图中画出圆O的内接正六边形,并简要写出作法;
(2)设圆O的半径为R,求T1,T2的边长(用含R的式子表示);
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