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    平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-4ax+4a+c与x轴交于点A、B，与y轴的正半轴交于点C，点A的坐标为（1，0），OB=OC.

    （1）求此抛物线的解析式；

    （2）若点P是线段BC上的一个动点，过点P作y轴的平行线与抛物线在x轴下方交于点Q，试问线段PQ的长度是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由；

    （3）若此抛物线的对称轴上的点M满足∠AMC=45°，求点M的坐标.

     

    【答案】

    （1）y=x2-4x+3；（2）存在，；（3）（2，2-）或（2，2+）.

    【解析】

    试题分析：（1）求出抛物线的对称轴，再根据对称性求出点B的坐标，然后求出点C的坐标，再把点A、C的坐标代入抛物线求出a、c即可得解；

    （2）利用待定系数法求出直线BC的解析式，然后表示出PQ的长，再根据二次函数的最值问题解答；

    （3）求出△ABC的外接圆的圆心D的坐标，再求出外接圆的半径，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得∠AMC=∠ABC=45°，再分点M在点D的下方和上方两种情况写出点M的坐标即可．

    试题解析：：（1）抛物线的对称轴为直线x=

    ∵点A（1，0），

    ∴点B的坐标为（3，0），

    ∵点C在y轴的正半轴，OB=OC，

    ∴点C的坐标为（0，3），

    ∴，

    解得，

    ∴此抛物线的解析式y=x2-4x+3；

    （2）设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），则

    ，

    解得，

    ∴直线BC的解析式为y=-x+3，

    ∴PQ=（-x+3）-（x2-4x+3）=-x2+3x=-（x-）2+，

    ∵点Q在x轴下方，

    ∴1＜x＜3，

    又∵-1＜0，

    ∴当x=时，PQ的长度有最大值；

    （3）如图，设△ABC的外接圆的圆D，

    则点D在对称性直线x=2上，也在直线BC的垂直平分线y=x上，

    ∴点D的坐标为（2，2），

    ∴外接圆的半径为，

    ∵OB=OC，

    ∴∠ABC=45°，

    ∴∠AMC=45°时，点M为⊙D与对称轴的交点，

    点M在点D的下方时，M1（2，2-），

    点M在点D的上方时，M2（2，2+），

    综上所述，M（2，2-）或（2，2+）时，抛物线的对称轴上的点M满足∠AMC=45°．

    考点: 二次函数综合题.

     

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    m
    x
    （m≠0）的图象相交于A、B两点，且点B的纵坐标为-
    1
    2
    ，过点A作AC⊥x轴于点C，AC=1，OC=2．
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    （2）求一次函数的解析式．

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    在平面直角坐标系xOy中，△AOB的位置如图所示，已知∠AOB=精英家教网90°，∠A=60°，点A的坐标为（-
    		3
    ，1）．
    求：（1）点B的坐标；
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    		3
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    （3）当P在OC上、Q在y轴上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．
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    （1）求证：mn=6；
    （2）当S△AOB=10时，抛物线经过A，B两点且以y轴为对称轴，求抛物线对应的二次函数的关系式；
    （3）在（2）的条件下，设直线AB交y轴于点F，过点F作直线l交抛物线于P，Q两点，问是否存在直线l，使S△POF：S△QOF=1：2？若存在，求出直线l对应的函数关系式；若不存在，请说明理由．

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    		5
    ．
    （Ⅰ）求点D的坐标，并直接写出t的取值范围；
    （Ⅱ）连接AQ并延长交x轴于点E，把AE沿AD翻折交CD延长线于点F，连接EF，则△AEF的面积S是否随t的变化而变化？若变化，求出S与t的函数关系式；若不变化，求出S的值．
    （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，t为何值时，PQ∥AF？

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