Question

1．如图，边长为1的正方形ABCD一边AD在x负半轴上，直线l：y=$\frac{1}{2}$x+2经过点
B（x，1）与x轴，y轴分别交于点H，F，抛物线y=-x²+bx+c顶点E在直线l上．
（1）求A，D两点的坐标及抛物线经过A，D两点时的解析式；
（2）当抛物线的顶点E（m，n）在直线l上运动时，连接EA，ED，试求△EAD的面积S与m之间的函数解析式，并写出m的取值范围；
（3）设抛物线与y轴交于G点，当抛物线顶点E在直线l上运动时，以A，C，E，G为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，求出E点坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过直线l的解析式求得B的坐标，进而根据正方形的边长即可求得A、D的坐标，然后利用待定系数法即可求得抛物线经过A，D两点时的解析式；
（2）根据一次函数图象上点的坐标特征求得E的纵坐标为$\frac{1}{2}$m+2，然后根据三角形的面积公式即可求得S与m之间的函数解析式；
（3）根据平行四边形的性质得出AC=EQ，AC∥EQ，易证得△EHQ≌△CDA，从而得出E的横坐标为-1，然后代入直线l的解析式即可求得E的坐标．

解答 解：（1）∵直线l：y=$\frac{1}{2}$x+2经过点B（x，1），
∴1=$\frac{1}{2}$x+2，解得x=-2，
∴B（-2，1），
∴A（-2，0），D（-3，0），
∵抛物线经过A，D两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4-2b+c=0}\\{-9-3b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-5}\\{c=-6}\end{array}\right.$，
∴抛物线经过A，D两点时的解析式为y=-x²-5x-6；

（2）∵点E（m，n）在直线l上，
∴n=$\frac{1}{2}$m+2，
∴S=$\frac{1}{2}$×1×[±（$\frac{1}{2}$m+2）]=±（$\frac{1}{4}$m+1），
即S=$\frac{1}{4}$m+1（m＞-4）或S=-$\frac{1}{4}$m-1（m＜-4）；
（3）如图，若以A，C，E，G为顶点的四边形能成为平行四边形，则AC=EG，AC∥EG，
作EM∥y轴交过G点平行于x轴的直线相交于M，则EM⊥GM，△EMG≌△CDA，
∴GM=AD=1，
∴E的横坐标为±1，
∵点E在直线l上，
∴y=$\frac{1}{2}$×（-1）+2=$\frac{3}{2}$，或y=$\frac{1}{2}$×1+2=$\frac{5}{2}$，
当AC为对角线时，有E和G的横坐标之和等于A和C的横坐标之和，故可求得E（-5，-$\frac{1}{2}$）
∴E（-1，$\frac{3}{2}$）；（1，$\frac{5}{2}$）或（-5，-$\frac{1}{2}$）；
由于E为抛物线的顶点，G为抛物线与y轴的交点，故将其坐标代入y=-x²+bx+c，
检验可知当E取（1，$\frac{5}{2}$）或（-5，-$\frac{1}{2}$）时，与此时的A、C、E构成平行四边形的G点并不是y轴与抛物线的交点，与前提相矛盾；
综上，满足题意的E的坐标为（-1，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，平行四边形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，抛物线上点的坐标特征，确定GH=AD=1是解题的关键．