Question

18．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，PB∥AC，PC∥BD，PB、PC相交于点P．
（1）猜想四边形PCOB是什么四边形，并说明理由；
（2）当矩形ABCD满足什么条件时，四边形PCOB是正方形．

Answer 1

分析 （1）由BE∥AC，EC∥BD，得出四边形OBEC是平行四边形，再由矩形的性质得出OB=OC，即可得出结论；
（2）由正方形的判定方法即可得出结论．

解答 解：（1）四边形PCOB是菱形；理由如下：
∵PB∥AC，PC∥BD，
∴四边形PCOB为平行四边形，
∵四边形ABCD为矩形，
∴OBOD，OA=OC，AC=BD，
∴OB=OC，
∴四边形PCOB为菱形（有一组邻边相等的平行四边形为菱形）；
（2）当AC⊥BD时，四边形PCOB是正方形；理由如下：
∵四边形PCOB为菱形，AC⊥BD，
∴四边形PCOB为正方形（有一个角为90°的菱形为正方形）．

点评 本题考查了正方形的判定、菱形的判定、矩形的性质；熟练掌握矩形的性质和正方形的判定方法，证明四边形是菱形是解决问题的关键．