Question

已知：关于x的一元二次方程mx²-（2m+2）x+m-1=0
（1）若此方程有实根，求m的取值范围；
（2）在（1）的条件下，且m取最小的整数，求此时方程的两个根；
（3）在（2）的前提下，二次函数y=mx²-（2m+2）x+m-1与x轴有两个交点，连接这两点间的线段，并以这条线段为直径在x轴的上方作半圆P，设直线l的解析式为y=x+b，若直线l与半圆P只有两个交点时，求出b的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵关于x的一元二次方程有实根∴m≠0，且△≥0
∴△=（2m+2）²-4m（m-1）=12m+4≥0
解得m≥
∴当m≥，且 m≠0时此方程有实根；

（2）∵在（1）的条件下，当m取最小的整数，
∴m=1
∴原方程化为：x²-4x=0
x（x-4）=0
x₁=0，x₂=4

（3）解：如图所示：①当直线l经过原点O时与半圆P有两个交点，即b=0
②当直线l与半圆P相切于D点时有一个交点，如图由题意可得Rt△EDP、Rt△ECO是等腰直角三角形，
∵DP=2∴EP=…．（6分）
∴OC=即b=
∴当0≤b＜时，直线l与半圆P只有两个交点．
分析：（1）根据关于x的一元二次方程有实根得m≠0，且△≥0从而得到12m+4≥0求得m的取值范围即可；
（2）在（1）的条件下，当m取最小的整数时m=1，于是原方程化为：x²-4x=0，解得即可；
（3）根据当直线l经过原点O时与半圆P有两个交点，即b=0，当直线l与半圆P相切于D点时有一个交点时得到b=，从而得到当0≤b＜时，直线l与半圆P只有两个交点．
点评：本题具有较强的综合性，考查了一元二次方程的根的情况，二次函数与对应的一元二次方程的联系，讨论一次函数与半圆的交点的情况．