Question

10．如图，正方形OABC的边长为4，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象与线段AB交于点D，与线段BC交于点E，点E的坐标为（3，4）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）直线y=-$\frac{1}{2}$x+b过点D，与线段BC相交于点F，求点F的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接OE、OF，探究∠AOE与∠COF的数量关系，并证明．

Answer 1

分析 （1）设反比例函数的解析式为y=$\frac{k}{x}$，把点E（3，4）代入即可求出k的值，进而得出结论；
（2）由正方形AOCB的边长为4，故可知点D的横坐标为4，点F的纵坐标为4．由于点D在反比例函数的图象上，所以点D的纵坐标为3，即D（4，3），由点D在直线y=-$\frac{1}{2}$x+b上可得出b的值，进而得出该直线的解析式，再把y=4代入直线的解析式即可求出点F的坐标；
（3）在AB上取AG=BG=2，连接OG，连接EG并延长交x轴于点H，由全等三角形的判定定理可知△OCF≌△OAG（SAS），△EGB≌△HGA（ASA），故可得出EG=HG．设直线EG的解析式为y=mx+n，把E（3，4），G（4，2）代入即可求出直线EG的解析式，故可得出H点的坐标，在Rt△COF中，CO=4，CE=3，根据勾股定理得OE=5，可知OC=OE，即OG是等腰三角形底边EH上的中线．所以OG是等腰三角形顶角的平分线，由此即可得出结论．

解答 解：（1）∵点E（3，4）在反比例函数图象上，
∴4=$\frac{k}{3}$，即k=12，
则反比例函数的表达式为y=$\frac{12}{x}$；
（2）∵正方形AOCB的边长为4，
∴点D的横坐标为4，
∵点D在反比例函数的图象上，
∴点D的纵坐标为3，即D（4，3）．
∵点D在直线y=-$\frac{1}{2}$x+b上，
∴3=-$\frac{1}{2}$×4+b，解得b=5．
∴直线DF为y=-$\frac{1}{2}$x+5，
将y=4代入y=-$\frac{1}{2}$x+5，得4=-$\frac{1}{2}$x+5，解得x=2．
∴点F的坐标为（2，4）．
（3）∠AOE=2∠COF．
证明：在AB上取AG=BG=2，连接OG，连接EG并延长交x轴于点H，如图所示．

在△OCF和△OAG中，有$\left\{\begin{array}{l}{OA=OC=4}\\{∠OCF=∠OAG=90°}\\{CF=AG=2}\end{array}\right.$，
∴△OCF≌△OAG（SAS），
∴∠AOG=∠COF．
在△EGB≌△HGA中，有$\left\{\begin{array}{l}{∠EGB=∠HGA}\\{∠B=∠GAH=90°}\\{BG=AG=2}\end{array}\right.$，
∴△EGB≌△HGA（ASA），
∴EG=HG．
设直线EG的解析式为y=mx+n，
∵E（3，4），G（4，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4=3m+n}\\{2=4m+n}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=10}\end{array}\right.$，
∴直线EG的解析式为y=-2x+10．
令y=-2x+10=0，得x=5，
∴H（5，0），OH=5，
在Rt△COE中，CO=4，CE=3，根据勾股定理得OE=5，
∴OH=OE，
∴OG是等腰三角形底边EH上的中线，
∴OG是等腰三角形顶角的平分线，
∴∠EOG=∠GOH，
∴∠EOG=∠GOA=∠COF，即∠AOE=2∠COF．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，涉及到正方形的性质、用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式、等腰三角形三线合一的性质等相关知识，难度较大．