Question

如图①，在正方形ABCD中，点E在AC上．
（1）求证：BE=DE；
（2）你能将上面的命题用文字概括成一个命题吗？
（3）你能用这个命题证下面这道题吗？如图②，点P在正方形ABCD的对角线AC上，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F．求证：EF=DP．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,矩形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）根据正方形的四条边都相等可得AB=AD，正方形的对角线平分一组对角可得∠BAC=∠DAC=45°，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）根据BE、DE的位置写出命题即可；
（3）连接PB，求出四边形BFPE是矩形，根据矩形的对角线相等可EF=PB，再根据（2）的结论证明即可．

解答：（1）证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAC=∠DAC=45°，
在△ABE和△ADE中，

AB=AD ∠BAC=∠DAC AP=AP

，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE=DE；

（2）解：命题：正方形一条对角线上的点到另一对角线的两端点的距离相等；

（3）证明：如图，连接PB，
∵PE⊥AB，PF⊥BC，∠ABC=90°，
∴四边形BFPE是矩形，
∴EF=PB，
由（2）PB=DP，
∴EF=DP．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟记正方形的性质得到三角形全等的条件是解题的关键．