Question

11．某公司经销农产品业务，以3万元/吨的价格向农户收购农产品后，以甲、乙两种方式进行销售，甲方式包装后直接销售；乙方式深加工后再销售．甲方式农产品的包装成本为1万元/吨，根据市场调查，它每吨平均销售价格y（单位：万元）与销售量m（单位：吨）之间的函数关系为y=-m+14（2≤m≤8）；乙方式农产品深加工等（不含进价）总费用S（单位：万元）与销售量n（单位：吨）之间的函数关系是S=3n+12，平均销售价格为9万元/吨．
参考公式：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-$\frac{b}{2a}$，$\frac{4ac-b2}{4a}$）
（1）该公司收购了20吨农产品，其中甲方式销售农产品x吨，其余农产品用乙方式销售，经销这20吨农产品所获得的毛利润为w万元（毛利润=销售总收入-经营总成本）．
①直接写出：
甲方式购买和包装x吨农产品所需资金为4x万元；
乙方式购买和加工其余农产品所需资金为（132-6x）万元；
②求出w关于x的函数关系式；
③若农产品全部销售该公司共获得了48万元毛利润，求x的值；
④若农产品全部售出，该公司的最小利润是多少．
（2）该公司现有流动资金132万元，若将现有流动资金全部用于经销农产品，
①其中甲方式经销农产品x吨，则总经销量p为-x+14吨（用含x的代数式表示）；
②当x为何值时，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．

Answer 1

分析 （1）①甲方式购买和包装x吨农产品所需资金为：4x万元；乙方式购买和加工其余农产品所需资金为：3（20-x）+3（20-x）+12=（132-6x）万元；
②当2≤x＜8时，当x≥8时，分别列出函数解析式即可；
③当2≤x＜8时，列方程得到-x²+7x+48=48，解得x₁=7，x₂=0（不合题意）；当x≥8时，-x+48=48，解得x=0．得到当毛利润达到48万元时，甲种方式销售7吨；
④由题意可知，当x=8时，利润最小为40万元．
（2）本问是方案设计问题，总投入为132万元，这笔132万元包括购买农产品的费用+甲方式农产品加工成本+乙方式农产品加工成本．①其中甲方式经销农产品x吨，则总经销量p为-x+14吨，②共购买了m吨农产品，其中甲方式农产品为x吨，乙方式农产品为（m-x）吨，分别求出当2≤x＜8时及当x≥8时w关于x的表达式，并分别求出其最大值．

解答 解：（1）①甲方式购买和包装x吨农产品所需资金为：4x万元；
乙方式购买和加工其余农产品所需资金为：3（20-x）+3（20-x）+12=（132-6x）万元；
故答案为：4x，（132-6x）；
②当2≤x＜8时，
w_甲=x（-x+14）-x=-x²+13x；
w_乙=9（20-x）-[12+3（20-x）]=108-6x
∴w=w_甲+w_乙-3×20
=（-x²+13x）+（108-6x）-60
=-x²+7x+48；
当x≥8时，
w_甲=6x-x=5x；
w_乙=9（20-x）-[12+3（20-x）]=108-6x
∴w=w_甲+w_乙-3×20
=（5x）+（108-6x）-60
=-x+48．
③当2≤x＜8时，-x²+7x+48=48，解得x₁=7，x₂=0（不合题意）；
当x≥8时，-x+48=48，解得x=0．
∴当毛利润达到48万元时，甲种方式销售7吨．
④由题意可知，当x=8时，利润最小为40万元．

（2）设该公司用132万元共购买了m吨农产品，其中甲方式购买x吨，乙方式购买（m-x）吨，
则购买费用为3m万元，甲方式农产品加工成本为x万元，乙方式农产品加工成本为[12+3（m-x）]万元，
∴3m+x+[12+3（m-x）]=132，化简得：x=3m-60．
①当2≤x＜8时，
w_A=x（-x+14）-x=-x²+13x；
w_B=9（m-x）-[12+3（m-x）]=6m-6x-12
∴w=w_A+w_B-3×m
=（-x²+13x）+（6m-6x-12）-3m
=-x²+7x+3m-12．
将3m=x+60代入得：w=-x²+8x+48=-（x-4）²+64
∴当x=4时，有最大毛利润64万元，
此时m=$\frac{64}{3}$，m-x=$\frac{52}{3}$；
②当x≥8时，
w_甲=6x-x=5x；
w_乙=9（m-x）-[12+3（m-x）]=6m-6x-12
∴w=w_甲+w_乙-3×m
=（5x）+（6m-6x-12）-3m
=-x+3m-12．
将3m=x+60代入得：w=48
∴当x＞8时，有最大毛利润48万元．
综上所述，购买农产品共$\frac{64}{3}$吨，其中甲方式农产品4吨，乙方式农产品$\frac{52}{3}$吨，公司能够获得最大毛利润，最大毛利润为64万元．

点评 本题考查了二次函数、一次函数的综合应用题，难度较大．解题关键是理清售价、成本、利润三者之间的关系．涉及到分段函数时，注意要分类讨论．