Question

如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，CD是∠ACB的平分线，过A，C，D三点的圆与斜边BC交于点E，连接DE．
（1）求证：AC=EC；
（2）若AC=，△ACD外接圆的半径为1，求△ABC的面积．

Answer 1

（1）证明：∵∠BAC=90°，
∴∠DEC=∠BAC=90°，
又∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠ACD=∠ECD．
∴∠ADC=∠EDC．
∴．
∴AC=EC．

（2）解：∵∠BAC=90°，CD=2，AC=，
∴AD=1．
∴∠ACD=∠ECD=30°，
∴∠ACB=60°．
在Rt△ABC中，AB=AC•tan60°=3，
又∵AC=，
∴S_△ABC=×3×=．
分析：（1）可通过证∠ADC=∠EDC，根据等弧所对的圆周角与弦相等，来得出AC=EC，已知了CD平分∠ACE，那么∠ACD=∠ECD，由于CD是直径，因此∠DAC=∠DEC=90°，那么通过等角的余角相等即可得∠ADC=∠EDC．也就得出了弧AC=弧CE，进而可得出AC=EC的结论．
（2）可先在直角三角形ACD中，根据AC和CD的长，用余弦函数求出∠ACD的度数，也就求出了∠ACB的度数，可在直角三角形ABC中，根据正切函数求出AB的长，有了两直角边的长，三角形ABC的面积也就求出来了．
点评：本题主要考查了等弧所对的圆周角和弦的关系以及解直角三角形等知识点．