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已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,过点A作直线MN⊥AC,点P是直线MN上的一个动点(与点A不重合),连结CP交AB于点D,设AP=,AD=

1.如图1,若点P在射线AM上,求y与x的函数解析式;

2.射线AM上是否存在一点P,使以点D、A、P组成的三角形与△ABC相似,若存在,求AP的长,若不存在,说明理由;

3.如图2,过点B作BE⊥MN,垂足为E,以C为圆心、AC为半径的⊙C与以P为圆心PD为半径的动⊙P相切,求⊙P的半径

 

 

1.

2.当AP的长为4.5时,△ABC∽△PAD

3.⊙E的半径为16或.

解析:(1)∵AM⊥AC,∠ACB=90°∴AM∥BC ∴

∵AC=6,BC=8, ∴AB=10   ∵AP=,AD=    ∴  

(2)假设射线AM上存在一点P,使以点D、A、P组成的三角形与△ABC相似

∵AM∥BC      ∴∠B=∠BAE

∵∠ACB=90°   ∠APD≠90°

∴△ABC∽△PAD

    解得:4.5

∴当AP的长为4.5时,△ABC∽△PAD

(3)∵⊙C与⊙P相切,AP=

①当点P在线段AD上,⊙C与⊙P外切时,PE=, PC=

在直角三角形PAC中,    

    解得:    ∴⊙P的半径为.

②点P在射线MA上,当⊙C与⊙P内切时,PE=, EC=

在直角三角形PAC中,     

    解得:(舍去)∴⊙P的半径为16.

③点P在射线AD上,当⊙C与⊙P外切时,PE=, PC=

在直角三角形PAC中,    

    解得: (舍去)

当⊙C与⊙P内切时,PE=, PC=

在直角三角形PAC中,    

    解得:(舍去)  

∴当⊙C与⊙P相切时,⊙E的半径为16或.

 

 

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.(只需将结论的代号填入题中的模线上).
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