Question

有一个直角三角形，它的两边长是方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的两根，且第三条边长为5，求k的值？

Answer 1

分析：利用因式分解法求出已知方程的解，得到直角三角形的两条边，然后分两种情况考虑：5为斜边时，利用勾股定理列出关系式，求出k的值；当5为直角边时，利用勾股定理列出关系式，求出k的值，综上，得到满足题意k的值．

解答：解：x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0，
分解因式得：（x-k-1）（x-k-2）=0，
可得x-k-1=0或x-k-2=0，
解得：x₁=k+1，x₂=k+2，
可知x₂＞x₁，分两种情况考虑：
①当5为斜边时，由勾股定理得：（k+1）²+（k+2）²=25，
解得：k₁=2；k₂=-5，
∵x₁=k+1；x₂=k+2都大于0，
∴k=2；
②当k+2为斜边时，由勾股定理得（k+1）²+25=（k+2）²，
解得：k₃=11，
综上所述，k=2或k=11．

点评：此题考查了解一元二次方程-因式分解法，以及勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握因式分解法是解本题的关键．