如图,在平面直角坐标系中,直线与直线y=x交于点A,点B在直线上,∠BOA=90°.抛物线过点A,O,B,顶点为点E.
(1)求点A,B的坐标;
(2)求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标;
(3)设直线y=x与抛物线的对称轴交于点C,直线BC交抛物线于点D,过点E作FE∥x轴,交直线AB于点F,连接OD,CF,CF交x轴于点M.试判断OD与CF是否平行,并说明理由.
解:(1)由直线与直线y=x交于点A,得
,解得,。
∴点A的坐标是(3,3)。
∵∠BOA=90°,∴OB⊥OA。
∴直线OB的解析式为y=﹣x。
又∵点B在直线上,∴,解得,。
∴点B的坐标是(﹣1,1)。
综上所述,点A、B的坐标分别为(3,3),(﹣1,1)。
(2)由(1)知,点A、B的坐标分别为(3,3),(﹣1,1),
∵抛物线过点A,O,B,
∴,解得,。
∴该抛物线的解析式为。
∵,∴顶点E的坐标是(,)。
(3)OD与CF平行。理由如下:
由(2)知,抛物线的对称轴是x=。
∵直线y=x与抛物线的对称轴交于点C,∴C(,)。
设直线BC的表达式为,把B(﹣1,1),C(,)代入,得
,解得,。
∴直线BC的解析式为。
∵直线BC与抛物线交于点B、D,∴,解得,x1=,x2=﹣1.。
把x1=代入,得y1=,∴点D的坐标是(,)。
如图,作DN⊥x轴于点N,
则
∵FE∥x轴,点E的坐标为(,),
∴点F的纵坐标是。
把y=代入,得x=,
∴点F的坐标是(,),
∴EF=。
∵CE=,∴。
∴∠CFE=∠DON。
又∵FE∥x轴,∴∠CMN=∠CFE。∴∠CMN=∠DON。
∴OD∥CF,即OD与CF平行。
解析试题分析:(1)由直线与直线y=x交于点A,列出方程组,通过解该方程组即可求得点A的坐标;根据∠BOA=90°得到直线OB的解析式为y=﹣x,则,通过解该方程组来求点B的坐标即可。
(2)把点A、B、O的坐标分别代入已知二次函数解析式,列出关于系数a、b、c的方程组,通过解方程组即可求得该抛物线的解析式。
(3)如图,作DN⊥x轴于点N,欲证明OD与CF平行,只需证明同位角∠CMN与∠DON相等即可。
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
一座桥如图,桥下水面宽度AB是20米,高CD是4米.要使高为3米的船通过,则其宽度须不超过多少米.
(1)如图1,若把桥看做是抛物线的一部分,建立如图坐标系.
①求抛物线的解析式;
②要使高为3米的船通过,则其宽度须不超过多少米?
(2)如图2,若把桥看做是圆的一部分.
①求圆的半径;
②要使高为3米的船通过,则其宽度须不超过多少米?
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过A(3,0),B(4,1)两点,且与y轴交于点C.
(1)求抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)的函数关系式及点C的坐标;
(2)如图(1),连接AB,在题(1)中的抛物线上是否存在点P,使△PAB是以AB为直角边的直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图(2),连接AC,E为线段AC上任意一点(不与A、C重合)经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F,当△OEF的面积取得最小值时,求点E的坐标.
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如图,在等边△ABC中,AB=3,D、E分别是AB、AC上的点,且DE∥BC,将△ADE沿DE翻折,与梯形BCED重叠的部分记作图形L.
(1)求△ABC的面积;
(2)设AD=x,图形L的面积为y,求y关于x的函数解析式;
(3)已知图形L的顶点均在⊙O上,当图形L的面积最大时,求⊙O的面积.
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如图,直线与坐标轴分别交于点A、B,与直线y=x交于点C.在线段OA上,动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动,同时动点P从点A出发向点O做匀速运动,当点P、Q其中一点停止运动时,另一点也停止运动.分别过点P、Q作x轴的垂线,交直线AB、OC于点E、F,连接EF.若运动时间为t秒,在运动过程中四边形PEFQ总为矩形(点P、Q重合除外).
(1)求点P运动的速度是多少?
(2)当t为多少秒时,矩形PEFQ为正方形?
(3)当t为多少秒时,矩形PEFQ的面积S最大?并求出最大值.
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某商家独家销售具有地方特色的某种商品,每件进价为40元.经过市场调查,一周的销售量y件与销售单价x(x≥50)元/件的关系如下表:
销售单价x(元/件) | … | 55 | 60 | 70 | 75 | … |
一周的销售量y(件) | … | 450 | 400 | 300 | 250 | … |
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一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100辆.公司在经营中发现每辆车的月租金x(元)与每月租出的车辆数(y)有如下关系:
x | 3000 | 3200 | 3500 | 4000 |
y | 100 | 96 | 90 | 80 |
租出的车辆数 | | 未租出的车辆数 | |
租出每辆车的月收益 | | 所有未租出的车辆每月的维护费 | |
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在平面直角坐标系中,一个二次函数的图象经过点A(1,0)、B(3,0)两点.
(1)写出这个二次函数的对称轴;
(2)设这个二次函数的顶点为D,与y轴交于点C,它的对称轴与x轴交于点E,连接AD、DE和DB,当△AOC与△DEB相似时,求这个二次函数的表达式。
[提示:如果一个二次函数的图象与x轴的交点为A,那么它的表达式可表示为:]
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(2013年浙江义乌10分)为迎接中国森博会,某商家计划从厂家采购A,B两种产品共20件,产品的采购单价(元/件)是采购数量(件)的一次函数.下表提供了部分采购数据.
采购数量(件) | 1 | 2 | … |
A产品单价(元/件) | 1480 | 1460 | … |
B产品单价(元/件) | 1290 | 1280 | … |
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