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如图,在平面直角坐标系中,直线与直线y=x交于点A,点B在直线上,∠BOA=90°.抛物线过点A,O,B,顶点为点E.

(1)求点A,B的坐标;
(2)求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标;
(3)设直线y=x与抛物线的对称轴交于点C,直线BC交抛物线于点D,过点E作FE∥x轴,交直线AB于点F,连接OD,CF,CF交x轴于点M.试判断OD与CF是否平行,并说明理由.

解:(1)由直线与直线y=x交于点A,得
,解得,
∴点A的坐标是(3,3)。
∵∠BOA=90°,∴OB⊥OA。
∴直线OB的解析式为y=﹣x。
又∵点B在直线上,∴,解得,
∴点B的坐标是(﹣1,1)。
综上所述,点A、B的坐标分别为(3,3),(﹣1,1)。
(2)由(1)知,点A、B的坐标分别为(3,3),(﹣1,1),
∵抛物线过点A,O,B,
,解得,
∴该抛物线的解析式为
,∴顶点E的坐标是()。
(3)OD与CF平行。理由如下:
由(2)知,抛物线的对称轴是x=
∵直线y=x与抛物线的对称轴交于点C,∴C()。
设直线BC的表达式为,把B(﹣1,1),C()代入,得
,解得,
∴直线BC的解析式为
∵直线BC与抛物线交于点B、D,∴,解得,x1=,x2=﹣1.。
把x1=代入,得y1=,∴点D的坐标是()。
如图,作DN⊥x轴于点N,


∵FE∥x轴,点E的坐标为(),
∴点F的纵坐标是
把y=代入,得x=
∴点F的坐标是(),
∴EF=
∵CE=,∴
∴∠CFE=∠DON。
又∵FE∥x轴,∴∠CMN=∠CFE。∴∠CMN=∠DON。
∴OD∥CF,即OD与CF平行。

解析试题分析:(1)由直线与直线y=x交于点A,列出方程组,通过解该方程组即可求得点A的坐标;根据∠BOA=90°得到直线OB的解析式为y=﹣x,则,通过解该方程组来求点B的坐标即可。
(2)把点A、B、O的坐标分别代入已知二次函数解析式,列出关于系数a、b、c的方程组,通过解方程组即可求得该抛物线的解析式。
(3)如图,作DN⊥x轴于点N,欲证明OD与CF平行,只需证明同位角∠CMN与∠DON相等即可。

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科目:初中数学 来源: 题型:解答题

一座桥如图,桥下水面宽度AB是20米,高CD是4米.要使高为3米的船通过,则其宽度须不超过多少米.

(1)如图1,若把桥看做是抛物线的一部分,建立如图坐标系.

①求抛物线的解析式;
②要使高为3米的船通过,则其宽度须不超过多少米?
(2)如图2,若把桥看做是圆的一部分.

①求圆的半径;
②要使高为3米的船通过,则其宽度须不超过多少米?

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已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过A(3,0),B(4,1)两点,且与y轴交于点C.

(1)求抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)的函数关系式及点C的坐标;
(2)如图(1),连接AB,在题(1)中的抛物线上是否存在点P,使△PAB是以AB为直角边的直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图(2),连接AC,E为线段AC上任意一点(不与A、C重合)经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F,当△OEF的面积取得最小值时,求点E的坐标.

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如图,在等边△ABC中,AB=3,D、E分别是AB、AC上的点,且DE∥BC,将△ADE沿DE翻折,与梯形BCED重叠的部分记作图形L.

(1)求△ABC的面积;
(2)设AD=x,图形L的面积为y,求y关于x的函数解析式;
(3)已知图形L的顶点均在⊙O上,当图形L的面积最大时,求⊙O的面积.

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如图,直线与坐标轴分别交于点A、B,与直线y=x交于点C.在线段OA上,动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动,同时动点P从点A出发向点O做匀速运动,当点P、Q其中一点停止运动时,另一点也停止运动.分别过点P、Q作x轴的垂线,交直线AB、OC于点E、F,连接EF.若运动时间为t秒,在运动过程中四边形PEFQ总为矩形(点P、Q重合除外).

(1)求点P运动的速度是多少?
(2)当t为多少秒时,矩形PEFQ为正方形?
(3)当t为多少秒时,矩形PEFQ的面积S最大?并求出最大值.

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某商家独家销售具有地方特色的某种商品,每件进价为40元.经过市场调查,一周的销售量y件与销售单价x(x≥50)元/件的关系如下表:

销售单价x(元/件)

55
60
70
75

一周的销售量y(件)

450
400
300
250

(1)直接写出y与x的函数关系式:   . 
(2)设一周的销售利润为S元,请求出S与x的函数关系式,并确定当销售单价在什么范围内变化时,一周的销售利润随着销售单价的增大而增大?
(3)雅安地震牵动亿万人民的心,商家决定将商品一周的销售利润全部寄往灾区,在商家购进该商品的贷款不超过10000元情况下,请你求出该商家最大捐款数额是多少元?

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一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100辆.公司在经营中发现每辆车的月租金x(元)与每月租出的车辆数(y)有如下关系:

x
3000
3200
3500
4000
y
100
96
90
80
(1)观察表格,用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆数y(辆)与每辆车的月租金x(元)之间的关系式.
(2)已知租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.用含x(x≥3000)的代数式填表:
租出的车辆数
       
未租出的车辆数
       
租出每辆车的月收益
       
所有未租出的车辆每月的维护费
       
(3)若你是该公司的经理,你会将每辆车的月租金定为多少元,才能使公司获得最大月收益?请求出公司的最大月收益是多少元.

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在平面直角坐标系中,一个二次函数的图象经过点A(1,0)、B(3,0)两点.

(1)写出这个二次函数的对称轴;
(2)设这个二次函数的顶点为D,与y轴交于点C,它的对称轴与x轴交于点E,连接AD、DE和DB,当△AOC与△DEB相似时,求这个二次函数的表达式。
[提示:如果一个二次函数的图象与x轴的交点为A,那么它的表达式可表示为:]

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(2013年浙江义乌10分)为迎接中国森博会,某商家计划从厂家采购A,B两种产品共20件,产品的采购单价(元/件)是采购数量(件)的一次函数.下表提供了部分采购数据.

采购数量(件)
1
2

A产品单价(元/件)
1480
1460

B产品单价(元/件)
1290
1280

(1)设A产品的采购数量为x(件),采购单价为y1(元/件),求y1与x的关系式;
(2)经商家与厂家协商,采购A产品的数量不少于B产品数量的,且A产品采购单价不低于1200元.求该商家共有几种进货方案;
(3)该商家分别以1760元/件和1700元/件的销售单价售出A,B两种产品,且全部售完.在(2)的条件下,求采购A种产品多少件时总利润最大,并求最大利润.

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