Question

在△ABC中，AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于E，交AD于F．
①求证：∠B=∠EAC；  
②若设CE=a，DE=b，BE=c，你能根据这些条件判断关于x的一元二次方程ax²-2bx+c=0的根的情况吗？说明理由．

Answer 1

分析：（1）由EF是AD的垂直平分线，可得AE=DE，则可得∠EAF=∠EDF，又由三角形外角的性质，可得：∠EAF=∠CAD+∠EAC，∠EDF=∠B+∠BAD，然后由AD是∠BAC的平分线，即可证得：∠B=∠EAC；
（2）首先证得△ABE∽△CAE，然后由相似三角形的对应边成比例，可得b²=ac，则可得一元二次方程ax²-2bx+c=0的判别式△=0，则可判定一元二次方程ax²-2bx+c=0有两个相等的实数根．

解答：①证明：∵EF是AD的垂直平分线，
∴AE=DE，
∴∠EAF=∠EDF，
∵∠EAF=∠CAD+∠EAC，∠EDF=∠B+∠BAD，
又∵AD是∠BAC的平分线，
即∠BAD=∠CAD，
∴∠B=∠EAC；

②能．理由：
∵∠B=∠EAC，∠AEB=∠CEA，
∴△ABE∽△CAE，
∴BE：AE=AE：CE，
∴AE²=BE•CE，
∵AE=DE，CE=a，DE=b，BE=c，
∴b²=ac，
∴一元二次方程ax²-2bx+c=0中，△=（-2b）²-4ac=4b²-4ac=0，
∴原方程有两个相等的实数根．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、一元二次方程根的判别式以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．