Question

3．已知（x²+mx+1）（x²-2x+n）的展开式中不含x²和x³项．
（1）分别求m、n的值；
（2）化简求值：（m+2n+1）（m+2n-1）+（2m²n-4mn²+m³）÷（-m）

Answer 1

分析 （1）先将题目中的式子化简，然后根据（x²+mx+1）（x²-2x+n）的展开式中不含x²和x³项，可以求得m、n的值；
（2）先化简题目中的式子，然后将m、n的值代入化简后的式子即可解答本题．

解答 解：（1）（x²+mx+1）（x²-2x+n）
=x⁴-2x³+nx²+mx³-2mx²+mnx+x²-2x+n
=x⁴+（-2+m）x³+（n-2m+1）x²+（mn-2）x+n，
∵（x²+mx+1）（x²-2x+n）的展开式中不含x²和x³项，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2+m=0}\\{n-2m+1=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=3}\end{array}\right.$，
即m的值为2，n的值为3；
（2）（m+2n+1）（m+2n-1）+（2m²n-4mn²+m³）÷（-m）
=[（m+2n）+1][（m+2n）-1]-2mn+4n²-m²
=（m+2n）²-1-2mn+4n²-m²
=m²+4mn+4n²-1-2mn+4n²-m²
=2mn+8n²-1，
当m=2，n=3时，
原式=2×2×3+8×3²-1=83．

点评 本题考查整式的混合运算--化简求值，解题的关键是明确整式化简求值的方法．