Question

在平面直角坐标系中，正方形ABCD纸片如图放置，A（0，2），D（-1，0），抛物线y=ax²+ax-2经过点C．
（1）求点B、C的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）以直线AD为对称轴，将正方形ABCD纸片折叠，得到正方形ADEF，求出点E和点F坐标，并判断点E和点F是否在抛物线上，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）过B作BT⊥y轴于T，证△BAT≌△ADO，得BT=AO，OD=AT，由此可求出B点的坐标，同理可求出C点的坐标；
（2）将C点坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数a的值；
（3）方法同（1）类似，过E作EQ⊥y轴于Q，过C作CP⊥x轴于P，通过证△EQA≌△AOD来求出EQ、QA的长，进而求得E点的坐标，同理可求出F点的坐标，然后将它们代入抛物线的解析式中进行验证即可．

解答：解：（1）过B作BT⊥y轴于T，过C作CP⊥x轴于P；

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵∠BAT+∠OAD=∠BAT+∠ABT=90°，
∴∠ABT=∠OAD，
又∵∠BTA=∠AOD=90°，
可证得△BTA≌△AOD，
则BT=AO=2，AT=OD=1，
∴OT=3，
∴B（-2，3），
同理C（-3，1）

（2）抛物线y=ax²+ax-2经过点C（-3，1），则得到
1=9a-3a-2，
解得a=

1

2

，
所以抛物线解析式为y=

1

2

x2+

1

2

x-2；

（3）作EQ⊥y轴于Q，

∵∠DAO+∠QAE=90°，∠ADO+∠DAO=90°，
∴∠ADO=∠QAE，
在△EQA和△AOD中

∠EQA=∠DOA ∠QAE=∠ADO AE=AD

△EQA≌△AOD，
得EQ=AO=2，AQ=OD=1，
∴OQ=1，
∴E（2，1），
同理F（1，-1），
当x=1时，y=-1，
∴F（1，-1）在抛物线上，
当x=2时，y=1；
∴E（2，1）在抛物线上．

点评：此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、图形的翻折变换等知识，综合性较强，难度适中．