Question

3．如图，抛物线y=-x²+bx+c与直线y=$\frac{1}{2}$x+1交于A、B两点，其中点A在y轴上，点B的横坐标是4，P为抛物线上一动点，过点P作PC⊥AB，垂足为点C，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在直线AB上方的抛物线上，用含m的代数式表示线段PC的长，并求出线段PC的最大值及此时点P的坐标；
（3）若P是抛物线上任意一点，且满足0°＜∠PAB≤45°，请直接写出：
①点P的横坐标m的取值范围；
②纵坐标为整数的点P为“巧点”，求“巧点”的个数．

Answer 1

分析 （1）求出A、B两点坐标代入抛物线的解析式即可解决问题．
（2）作PF⊥x轴于F，交AB于E，直线AB交x轴于D．设P（m，-m²+$\frac{9}{2}$m+1），则E（m，$\frac{1}{2}$m+1），PE=-m²+4m，由△PCE∽△DOA，可得$\frac{PC}{DO}$=$\frac{PE}{AD}$，构建二次函数后即可解决问题．
（3）①如图2中，取点F（1，4），连接AF、FB，首先证明△FAB是等腰直角三角形，推出∠FAB=45°，设直线AF交抛物线于P，可得直线AF的解析式为y=3x+1，利用方程组求出∠PAB=45°时，点P的坐标即可解决问题，再根据对称性求出P′A⊥PA时的点P′的坐标即可解决问题．
②观察图象可知点P的纵坐标的范围3＜y_p≤$\frac{97}{16}$或-$\frac{11}{18}$≤y_P＜3
，所以整数y_p为4，5，6，0，1，2，又点P的横坐标$\frac{3}{2}$≤m＜4．推出对应的点P有7个，

解答 解：（1）由题意A（0，1），B（4，3），
把A（0，1），B（4，3）代入y=-x²+bx+c得到$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{-16+4b+c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{9}{2}}\\{c=1}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-x²+$\frac{9}{2}$x+1．

（2）作PF⊥x轴于F，交AB于E，直线AB交x轴于D．

由题意D（-2，0），A（0，1），
设P（m，-m²+$\frac{9}{2}$m+1），则E（m，$\frac{1}{2}$m+1），PE=-m²+4m
∴OA=1，OD=2，AD=$\sqrt{5}$，
∵PF∥OA，
∴∠DAO=∠DEF=∠PEC，
∵∠AOD=∠PCE=90°，
∴△PCE∽△DOA，
∴$\frac{PC}{DO}$=$\frac{PE}{AD}$，
∴$\frac{PC}{2}$=$\frac{-{m}^{2}+4m}{\sqrt{5}}$，
∴PC=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（m²-4m），
∵PC=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（m²-4m）=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（m-2）²+$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
∵-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$＜0，
∴m=2时，PC有最大值．最大值为$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，此时P（2，6）；

（3）①如图2中，取点F（1，4），连接AF、FB，

∵A（0，1），B（4，3），
∴AF=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，FB=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，AB=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴AF=FB，AF²+BF²=AB²，
∴△FAB是等腰直角三角形，
∴∠FAB=45°，设直线AF交抛物线于P，
∴直线AF的解析式为y=3x+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+\frac{9}{2}x+1}\\{y=3x+1}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=\frac{11}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∵A（0，1），
∴P（$\frac{3}{2}$，$\frac{11}{2}$），
当P′A⊥PA时，
直线P′A的解析式为y=-$\frac{1}{3}$+1，
$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}x+1}\\{y=-{x}^{2}+\frac{9}{2}x+1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{29}{6}}\\{y=-\frac{11}{18}}\end{array}\right.$，
∴P′（$\frac{29}{6}$，-$\frac{11}{18}$）
∴观察图象可知，满足条件0°＜∠PAB≤45°的点P的横坐标$\frac{3}{2}$≤m＜4或4＜m≤$\frac{29}{6}$．

②观察图象可知点P的纵坐标的范围3＜y_p≤$\frac{97}{16}$或-$\frac{11}{18}$≤y_P＜3
∴整数y_p为4，5，6，0，1，2，又点P的横坐标$\frac{3}{2}$≤m＜4或4＜m≤$\frac{29}{6}$．
∴对应的点P有7个，对应的点P的纵坐标为0，1，2，4，5，6，6，
∴“巧点”的个数为7个．

点评 本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考压轴题．