Question

10．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，点P、Q分别在BD、AD上，则AP+PQ最小值为$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 在Rt△ABE中，利用三角形相似可求得AE、DE的长，设A点关于BD的对称点A′，连接A′D，可证明△ADA′为等边三角形，当PQ⊥AD时，则PQ最小，所以当A′Q⊥AD时AP+PQ最小，从而可求得AP+PQ的最小值等于DE的长，可得出答案..

解答 解：设BE=x，则DE=3x，
∵四边形ABCD为矩形，且AE⊥BD，
∴△ABE∽△DAE，
∴AE²=BE•DE，即AE²=3x²，
∴AE=$\sqrt{3}$x，
在Rt△ABE中，由勾股定理可得AB²=AE²+BE²，即3²=（$\sqrt{3}$x）²+x²，解得x=$\frac{3}{2}$，
∴AE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，DE=$\frac{9}{2}$，BE=$\frac{3}{2}$，
∴AD=3$\sqrt{3}$，
如图，设A点关于BD的对称点为A′，连接A′D，PA′，
则A′A=2AE=3$\sqrt{3}$=AD=A′D
∴△AA′D是等边三角形，
∵PA=PA′，
∴当A′、P、Q三点在一条线上时，A′P+PQ最小，
又垂线段最短可知当PQ⊥AD时，A′P+PQ最小，
∴AP+PQ=A′P+PQ=A′Q=DE=$\frac{9}{2}$，
故答案是：$\frac{9}{2}$．

点评 本题主要考查轴对称的应用，利用最小值的常规解法确定出A的对称点，从而确定出AP+PQ的最小值的位置是解题的关键，利用条件证明△A′DA是等边三角形，借助几何图形的性质可以减少复杂的计算．