Question

4．如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠BAC的平分线交⊙O于点D，∠BAC=60°，AB=4，AC=6，求AD的长．

Answer 1

分析 过B作BP⊥AC于点P，过E作EH⊥AC于点H，由角平分线的性质，可得BE：CE=2：3，由勾股定理可求得BC，CE，BE的长，然后由平行线分线段成比例定理，求得CH与EH的长，根据勾股定理和相交弦定理计算得到答案．

解答 解：过B作BP⊥AC于点P，过E作EH⊥AC于点H，
在△ABC中，AB=4，AC=6，AD是∠BAC的角平分线，
∴BE：CE=4：6=2：3，
∵∠BAC=60°，
∴AP=AB•cos∠BAC=2，BP=AB•sin∠BAC=2$\sqrt{3}$，
∴CP=AC-AP=4，
∴BC=$\sqrt{B{P}^{2}+C{P}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∴CE=$\frac{6\sqrt{7}}{5}$，BE=$\frac{4\sqrt{7}}{5}$，
∵EH∥BP，
∴$\frac{CH}{CP}$=$\frac{EH}{BP}$=$\frac{CE}{CB}$，
∴CH=$\frac{12}{5}$，EH=$\frac{6\sqrt{3}}{5}$，
∴AH=AC-CH=$\frac{18}{5}$，
∴AE=$\sqrt{A{H}^{2}+E{H}^{2}}$=$\frac{12\sqrt{3}}{5}$，
∵BE•CE=A•DE，
∴DE=$\frac{14\sqrt{3}}{15}$，
∴AD=DE+AE=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$．

点评 此题考查了圆周角定理与相似三角形的判定与性质，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．