Question

【题目】如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°

（1）利用尺规作∠ABC 的平分线，交AC 于点O，再以O 为圆心，OC 的长为半径作⊙O(保留作图痕迹，不写作法)；

（2）在你所作的图中，①判断AB 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；②若AC＝12，tan∠OBC＝，求⊙O 的半径。

Answer 1

【答案】(1)作图见解析；（2）①AB与⊙O相切，理由见解析；②．

【解析】

试题分析：（1）只需按照题目的要求画图即可；

（2）①过点O作OD⊥AB，垂足为D，如图所示，只需证明OD=OC即可；

②在Rt△OBC中，运用三角函数可求出，从而得到，易证Rt△ADO∽Rt△ACB，运用相似三角形的性质可求得AD=8，然后在Rt△ADO中运用勾股定理即可解决问题．

试题解析：（1）如图，⊙O即为所求作；

（2）AB与⊙O相切，理由如下：

过点O作OD⊥AB，垂足为D，如图所示．

∵∠ACB=90°，∴OC⊥BC．

∵BO是∠ABC的平分线，OD⊥AB，OC⊥BC，

∴OC=OD．

∴AB与⊙O相切；

（3）在Rt△OBC中，

tan∠OBC=，

∴．

又∵∠ADO=∠ACB=90°，∠A=∠A，

∴Rt△ADO∽Rt△ACB，

∴，

∴AD=AC=×12=8．

设⊙O的半径为r，则OD=OC=r，AO=12-r．

在Rt△ADO中，

根据勾股定理可得r2+82=（12-r）2，

解得r=，

∴⊙O的半径是．