Question

如图，在△A₁B₁C₁中，取B₁C₁中点D₁、A₁C₁中点A₂，并连接A₁D₁、A₂D₁称为第一次操作；取D₁C₁中点D₂、A₂C₁中点A₃，并连接A₂D₂、D₂A₃称为第二次操作；取D₂C₁中点D₃、A₃C₁中点A₄，并连接A₃D₃、D₃A₄称为第三次操作，依此类推…．记△A₁D₁A₂的面积为S₁，△A₂D₂A₃的面积为S₂，△A₃D₃A₄的面积为S₃，…△A_nD_nA_n+1的面积为S_n．若△A₁B₁C₁的面积是1，则S_n=

 

．（用含n的代数式表示）

Answer 1

分析：根据题意，由图得，A₂是A₁C₁的中点，D₁是B₁C₁的中点，根据三角形的中位线定理，S_△A2D1C1：S_△A1B1C1=1：4，S_△A1D1A2=S_△A2D1C1，所以，可得S₁=

1

4

，同理可得出，S₂=

1

42

，S₃=

1

43

，…，S_n=

1

4n

；即可解答出．

解答：解：根据题意得，
∵A₂是A₁C₁的中点，D₁是B₁C₁的中点，
∴S_△A1D1A2=S_△A2D1C1，S_△A2D1C1：S_△A1B1C1=1：4，
∴S_△A1D1A2：S_△A1B1C1=1：4，
又∵△A₁B₁C₁的面积是1，
∴S_△A1D1A2=

1

4

，即S₁=

1

4

，
同理可得，S₂=

1

42

，S₃=

1

43

，…，S_n=

1

4n

；
故答案为：

1

4n

．

点评：本题主要考查了三角形的面积，注意三角形中位线定理及等底等高的两个三角形的面积相等的性质定理的应用，同时，要掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．