Question

抛物线y=ax²+bx+c中，b=4a，它的图象如图，有以下结论：①c＞0； ②a+b+c＞0；③a-b+c＞0；④b²-4ac＜0；⑤abc＜0；⑥4a-2b+c＞0；⑦2a+b＞0．其中正确的为（　　）

• A、2个
• B、3个
• C、4个
• D、5个

Answer 1

分析：由抛物线的开口向上知a＞0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上得到c＞0，由此判定①正确；
由对称轴为x=-

b

2a

=-1，得2a=b，∴a、b同号，即b＞0，然后即可判定⑤错误；
由抛物线与x轴有两个交点得到b²-4ac＞0，由此判定④错误；
当x=1时，y=a+b+c＞0，由此判定②正确；
当x=-1时，y=a-b+c＜0，由此判定③错误；
由图象知道a-b+c＜0，而4a=b，可以推出c＜a，进一步得到4a＞c，由此判定⑥正确．

解答：解：①∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∵与y轴的交点为在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
故本选项正确；
⑤∵对称轴为x=-

b

2a

=-1，得2a=b，
∴a、b同号，即b＞0，
∴abc＞0，
故本选项错误；
④∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b²-4ac＞0，
故本选项错误；

②当x=1时，y=a+b+C＞0，
故本选项正确；
③当x=-1时，y=a-b+c＜0，
故本选项错误；

⑥∵4a=b，
∴4a-2b+c=c-4a；
又∵a-b+c＜0，2a=b，
∴c＜a，
∴4a＞c，
∴c-4a＜0
∴4a-2b+c＜0，
故本选项错误；

⑦∵b＞0，a＞0，
∴2a+b＞0，
故本选项正确；
综上所述，正确的有①②⑦共3个．
故选B．

点评：二次函数y=ax²+bx+c系数符号的确定：
（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0；
（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=-

b

2a

判断符号；
（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0；
（4）b²-4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：①2个交点，b²-4ac＞0；
②1个交点，b²-4ac=0；
③没有交点，b²-4ac＜0．
（5）当x=1时，可以确定y=a+b+c的值；当x=-1时，可以确定y=a-b+c的值．