Question

15．如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（5，0）两点，直线y=$\frac{3}{4}$x-3与y轴交于点C，与x轴交于点D，点P时第四象限内的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当线段PE的长度最大时，求点P的坐标；
（3）若点E'是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P，使点E'落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）用含m的代数式分别表示出PE、EF，然后列方程求解；
（3）解题关键是识别出当四边形PECE′是菱形，然后根据PE=CE的条件，列出方程求解；当四边形PECE′是菱形不存在时，P点y轴上，即可得到点P坐标．

解答 解：（1）将点A、B坐标代入抛物线解析式，得：
$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{25+5b+c=0}\end{array}\right.$
，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=-5}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=x²-4x-5．

（2）∵点P的横坐标为m，
∴P（m，m²-4m-5），E（m，$\frac{3}{4}$m+3），
∴PE=|y_P-y_E|=$\frac{3}{4}$m-3-（m²-4m-5）
=-m²+$\frac{19}{4}$m+2
=-（m-$\frac{19}{8}$）²+$\frac{489}{64}$，
当m=$\frac{19}{8}$时，线段PE的长度最大，
m²-4m-5=（$\frac{19}{8}$）²-4×$\frac{19}{8}$-5=-$\frac{343}{64}$，
线段PE的长度最大时，P点坐标为（$\frac{19}{8}$，-$\frac{343}{64}$）；

（3）假设存在．
作出示意图如下：

∵点E、E′关于直线PC对称，
∴∠1=∠2，CE=CE′，PE=PE′．
∵PE平行于y轴，∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，∴PE=CE，
∴PE=CE=PE′=CE′，即四边形PECE′是菱形．
当四边形PECE′是菱形存在时，
由直线CD解析式y=-$\frac{3}{4}$x-3，可得OD=4，OC=3，由勾股定理得CD=5．
过点E作EM∥x轴，交y轴于点M，易得△CEM∽△CDO，
∴$\frac{ME}{OD}$=$\frac{CE}{CD}$，即$\frac{|m|}{4}$$\frac{CE}{5}$，解得CE=$\frac{5}{4}$|m|，
∴PE=CE=$\frac{5}{4}$|m|，又由（2）可知：PE=|m²+$\frac{19}{4}$m+2|
∴|-m²+$\frac{19}{4}$m+2|=$\frac{5}{4}$|m|．
①若-m²+$\frac{19}{4}$m+2=$\frac{5}{4}$m，整理得：2m²-7m-4=0，解得m=4或m=-$\frac{1}{2}$，
P点坐标为（4，5）（-$\frac{1}{2}$，$\frac{11}{4}$）；
②若-m²+$\frac{19}{4}$m+2=-$\frac{5}{4}$m，整理得：m²-6m-2=0，解得m₁=3+$\sqrt{11}$，m₂=3-$\sqrt{11}$．
由题意，m的取值范围为：-1＜m＜5，故m=3+$\sqrt{11}$这个解舍去，
P点坐标为（3-$\sqrt{11}$，2$\sqrt{11}$-3）．
当四边形PECE′是菱形这一条件不存在时，
此时P点横坐标为0，E，C，E'三点重合与y轴上，也符合题意，
∴P（0，-5）
综上所述，存在满足条件的点P，可求得点P坐标为（0，-5），（-$\frac{1}{2}$，$\frac{11}{4}$），（4，5），（3-$\sqrt{11}$，2$\sqrt{11}$-3）．

点评 本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数与一次函数的图象与性质、点的坐标、待定系数法、菱形、相似三角形等多个知识点，重点考查了分类讨论思想与方程思想的灵活运用．需要注意的是，为了避免漏解，表示线段长度的代数式均含有绝对值，解方程时需要分类讨论、分别计算．