Question

在坐标平面内，半径为R的⊙C与x轴交于点D（1，0）、E（5，0），与y轴的正半轴相切于点A。点A、B关于x轴对称，点P（a，0）在x的正半轴上运动，作直线BP，作EH⊥BP于H。

⑴求圆心C的坐标及半径R的值；
⑵△POB和△PHE随点P的运动而变化，若它们全等，求a的值；
⑶当a＝６时，试确定直线BP与⊙C的位置关系并说明理由。

Answer 1

（1）C(3，)，R=3；（2）a=2；（3）相离.

试题分析：（1）由题意知圆心C点的横坐标为DE中点的坐标，纵坐标和B点纵坐标相等，用切割线定理求出OB的长即可，C点的横坐标等于半径；
（2）因为△POA≌△PHE，OE的长为直角边和斜边的和，而OE的长已求，用OP表示PE，并且OA=OB．根据勾股定理求出OP的长即为a的值，过A作圆的切线为标准证明AP与⊙C的关系．
试题解析：（1）连接BC，则BC⊥y轴．取DE中点M，连CM，则CM⊥x轴．

∵OD=1，OE=5，
∴OM=3．
∵OB²=OD•OE=5，
∴OB=．
∴圆心C(3，)，半径R=3．
（2）∵△POA≌△PHE，
∴PA=PE．
∵OA=OB=，OE=5，OP=a，
∴PA²=a²+5，PE²=（5-a）²，
∴a²+5=（a-5）²，
解得：a=2．
（3）过点A作⊙C的切线AT（T为切点），交x轴正半轴于Q．

设Q（m，0），则QE=m-5，QD=m-1，
QT=QA-AT=QA-AB=．
由QT²=QE•QD，得()²=（m-5）（m-1），

11m²-60m=0．
∵m＞0，
∴m=．
∵a=6，点P（6，0），在点Q(，0)的右侧，
∴直线AP与⊙C相离．
考点: 1.直线与圆的位置关系；2.直角三角形全等的判定；3.切割线定理．